初拓扑
在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合X与X上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。 子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。 与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。 定义 {{Math theorem | name = 定義 | math_statement = X 為集合，設有一集合族 \mathcal{Y} 與其指標集 I ： :I \, \ove…
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离散空间
在拓扑学和相关数学领域中，离散空间（）指一种特别简单的拓扑空间或相似的结构，在其中点都在特定意义下是相互孤立的。 离散拓扑是可以在集合上给出的最精细的拓扑。离散拓扑中的每个子集都是开集，因此每个单子集也都是开集。 定义 给定集合X: 在X上的离散拓扑是通过X的所有子集是开集（因此也是闭集）而定义的。如果X配备了它的离散拓扑，则X组成了离散拓扑空间； 在X上的离散一致是通过令X × X中的对角集\{(x,x) : x \in X\}的所有…
拓撲量子場論
拓扑量子场论（又称拓扑场论，简称TQFT）是一类计算拓扑不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。 虽然拓扑量子场论由物理学家发明，但是在数学上也具有重要意义，与纽结理论、代数拓扑中的、代数几何中的模空间等分支均有联系。西蒙·唐纳森、沃恩·琼斯、爱德华·威滕和马克西姆·孔采维奇都因对拓扑场论方面的研究而获得菲尔兹奖。 20世纪70年代，就研究过一种拓扑量子场论（陳-西蒙斯理論）。80年代末，在迈克尔·阿蒂亚启…
空間
，用以描述空間中的位置。]] 空間（）為一種抽象觀念，是物体和事件存在並有彼此相對關係的客观形式，也是其具有相对位置和方向的无限的三维范围。口语上，通常指四方上下，与“时间”相对。 经典物理学解释空间为宇宙中物质实体之外的部分，物理空间通常以三个线性维度来构想；而现代物理学解释空间为宇宙物质实体运动所发生的部分，其中相对论将時間與空間一起組成无限的“四维连续体”或四维流形，称为时空，而空间是时空的一部分，时空则是构成宇宙的基本结构。空间…
球面
球面 （）是三维空间中完全圆形的几何物体，它是圆球的表面（类似于在二维空间中，“圆 ”包围着“圆盘”那样）。 就像在二维空间中的圆的定义一样，球面在数学上定义为三维空间中离给定的点距离相同的点的集合 。 这个距离 是球的半径 ，球（ball）则是由离给定点距离小于 的所有点构成的几何体，而这个给定点就是球心。球的半径和球心也是球面的半径和中心。两端都在球面上的最长线段通过球心，其长度是其半径的两倍；它是球面和球体的直径 。 尽管在数学之…
莫比乌斯带
莫比乌斯带（），又譯梅比斯環、莫比乌斯环或麦比乌斯带，是一种只有一个面（表面）和一条边界的曲面，也是一种重要的拓扑学结构，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·利斯廷在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称；如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦類似。 莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯…
构型空间
。]] 数学中，构型空间（configuration space）是与物理学中的状态空间或相空间密切相关的构造，后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中，这用于描述点集在拓扑空间中的位置分布；更具体地，数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理位形空间的特殊例子。 定义 对拓扑空间X和正整数n，令X^n为n份X的笛卡儿积，具备积拓扑。X的第n个（有序）构型空间是X中成对不同点的n元组的集合： :\operatorname{Conf}_n…
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡七桥问题（；英語：Seven Bridges of Königsberg）是图论中的著名问题。这个问题是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的橋都走遍？ 解決方式 莱昂哈德·欧拉在1735年提出，並沒有方法能圓滿解決這個問題，他更在第二年发表在论文《柯尼斯堡的七桥》中，證明符合…
调性网络
，调性网络包含12个（音高）和24个三角形（三和弦）。]] 在律学与和声学中，调性网络（），或托内斯（），是一种用于表示调性空间的、概念性的，由莱昂哈德·欧拉于1739年提出。调性网络的各种可视化形式可被用于表示欧洲古典音乐的传统和声关系。 1900年之前的历史 “Tonnetz（调性网络）”这个词最早出现于欧拉1739年的著作《》（Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harm…
球 (数学)
裡，球是指球面的內部。]] 球（）在數學裡，是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。 球的概念不只存在於三維歐氏空間裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裡。n\,\!維空間裡的球稱為n\,\!維球，且包含於n-1\,\!維球面內。因此，在歐氏平面裡，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間裡，球則是指在二維球面邊界內的空間。 歐氏空間裡的球 在 n\,\! 維歐氏空間…
代数内部
作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部()或径向核()是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。代数内部的元素通常被称为内点()。 正式地，如果X是线性空间，则A \subseteq X的代数内部是 : \operatorname{core}(A) := \left\{x_0 \in A: \forall x \in X, \exists t_x > 0, \fora…
拓扑学
，只有一個面與一個邊，為拓撲學所研究物件的一类。]] 拓撲學，也作拓樸學、意譯位相幾何學，是一門研究拓撲空間的領域，主要研究空間內在連續變化下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至萊布尼茲，他在17世紀提出「位置的幾何學」（）和「位相分析」（）的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。…
潘洛斯三角
潘洛斯三角（），又稱彭羅斯三角，是不可能物體中的一種。最早是由瑞典藝術家在1934年製作。英國數學家羅傑·潘洛斯及其父親莱昂内尔·彭罗斯設計及推廣，並在1958年2月份的《英國心理學月刊》（）中發表，稱之為「最純粹形式的不可能」。 潘洛斯三角看起來像是一個固體，由三個截面為正方形的長方體所構成，三個長方體組合成為一個三角形，但兩長方體之間的夾角似乎又是直角。上述的性質無法在任何一個正常三維空間的物體上實現。這種物件只能存在於一些特定的歐…
處處不連續函數
處處不連續函數是一數學名詞，是指在其定義域上的每一點都不連續的函數。若f(x)為一函數，定義域和值域都是實數，若針對每一個x，都存在\epsilon>0，使得針對每一個\delta>0，都可以找到y，使下式成立，則f(x)為處處不連續函數： 0 換句話說，不論距固定點多近，都有距固定點更近的點使函數的值偏離固定點對應的值。例如狄利克雷函数就是一個處處不連續函數。 處處不連續函數的性質不是函數典型的現象，有病態特性。 若將定義中的絕對值改…
径向集
在数学中，给定线性空间X上的一个集合A\subseteq X，如果对于所有x \in X，存在t_x > 0，使得对任意t \in [0,t_x]有x_0 + tx \in A，则称集合A在点x_0 \in A处是径向的（）。在几何上，这意味着，如果对任意x \in X，从x_0发出朝向x的线段落于A中（线段长度非零但可以依赖于x），则A在点x_0处是径向的。 若集合在某点是径向的，則称为該點為内点（）。在此意義下，子集A \subse…
分离集合
在拓扑学和有关的数学分支中，分离集合是给定拓扑空间中以特定方式相互关联的一对子集，粗略的說，既不重疊也不接觸。两个集合是否分离对于连通空间和拓扑空间的分离公理的概念都很重要。 分离集合不应该與分离空间混淆，它们有些关系但並不相同。而可分离空间則是完全不同的拓扑概念。 定义 有各种方式來認定拓扑空间 X 的两个子集是分離的。 *A 和 B 是不相交的，如果它们的交集是空集。这个性质与拓扑无关，只与集合论有关；我们在这里介紹它是因为它在一序…
度量空间
在數學中，賦距空間（）是具有距離這一個概念的集合，裝配了一個稱為度量的函數，用以表示此集合中任兩個成員間的距離。歷史上是由法国數學家莫里斯·弗雷歇在1906年于其法语著作《》首次使用。 賦距空間中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦…
同胚
曾說：拓撲學家為不知甜甜圈與咖啡杯之分別者。]] 在拓扑学中，同胚（）是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。 拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。有一个笑话是说，拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜…
单纯形
。]] 几何学上，单纯形（）或者*n-单纯形*是和三角形类似的n维几何体。精确地讲，单纯形是某个n维以上的欧几里得空间中的（n+1）个仿射无关（也就是没有m-1维平面包含m+1个点；这样的点集被称为处于一般位置）的点的集合的凸包。 例如，0-单纯形就是点，1-单纯形就是线段，2-单纯形就是三角形，3-单纯形就是四面体，而4-单纯形是一个五胞体（每种情况都包含内部）。 正单纯形是同时也是正多胞形的单纯形。正n-单纯形可以从正(n − 1)…
非交换拓扑
数学中，非交换拓扑是用于拓扑学与C-代数概念之间关系的术语。非交换拓扑起源于盖尔范德–奈马克定理，指出局部紧豪斯多夫空间的范畴同交换C-代数范畴之间的对偶性。非交换拓扑与解析非交换几何有关。 例子 非交换拓扑背后是前提是，非交换C-代数可以像非交换空间上的复值连续函数代数一样处理，而非交换空间在经典上是不存在的。有几个拓扑性质可表为C-代数的性质，而无需提及交换性或底空间，因此可以立即推广。其中包括 紧性（含幺） σ-紧性（含σ-幺） …