斯托克斯定理
斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 ℝ³ 上的斯托克斯公式 旋度定理…
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莫比乌斯带
莫比乌斯带（），又譯梅比斯環、莫比乌斯环或麦比乌斯带，是一种只有一个面（表面）和一条边界的曲面，也是一种重要的拓扑学结构，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·利斯廷在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称；如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦類似。 莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯…
場線
的電場]] 場線是由向量場和初始點設定的軌跡。在空間裏，向量場在每一個位置，都設定了一個方向。只要按照向量場在每一個位置所指的方向來追蹤路徑，就可以素描出正確的場線。更精確地說，場線在每一個位置的切線必須平行於向量場在那一個位置的方向。 在空間內，由於，伴隨著每一個點的向量，組合起來，構成了向量場，場線可以說是一個專為向量場精心打造的顯像工具，能夠清楚地顯示出向量場在每一個位置的方向。假若向量場描述的是一個速度場，則場線跟隨的是流體的流…
唯一性定理 (电磁学)
电磁学唯一性定理（）是指若馬克士威方程組的邊界條件滿足以下條件，其解的唯一性（但不保證其解存在）： 在t=0時，所有場（、、、）在要求解空間在各處的初始值都已知。 在考慮的整個時間範圍內，電場或磁場和邊界表面相切的分量（\hat n \times \mathbf{E}或\hat n \times \mathbf{H}，其中\hat n是邊界表面上一點的法线向量）已給定。 若產生這些場的來源是在定義空間以外，此定理不意味著在給定邊界條件（…
唯一性定理 (泊松方程)
唯一性定理指出，很大一部分的具有边界条件的泊松方程，可能有很多个解，但所有解的梯度都是相同的。在静电学的情况下，这意味着在边界条件下的泊松方程所解得的势函数具有唯一确定的电场。 证明 在高斯单位制，静电学中的泊松方程的一般表达是 : \mathbf{\nabla}\cdot(\epsilon\mathbf{\nabla}\varphi)= -\rho_f 其中 \varphi 是电势， \mathbf{E}=-\mathbf{\nabl…
向量分析
向量分析，或称为向量微積分（）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间\mathbb{R}^3中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。 向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是电磁场、引力场和流体流动的描述中。 向量分析由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末从四元數分析发展而来，大多数符号和术语由吉布斯和…
通量
F的場線通過具有單位法線n的表面，從n到F的角度為θ。通量是多少場通過給定表面的量度。F被分解為與n垂直（⊥）和平行（‖）的分量。只有平行分量對通量有貢獻，因為它是在一個點處穿過表面的場的最大範圍，垂直分量沒有貢獻。 上圖：通過平面的三條磁力線，一條垂直於表面，一條平行，一條中間 。下圖：通過的磁力線，顯示單位法線和表面元素的設置以計算通量。]] 。 表面上每個小塊的之和是通過表面的通量。]] 通量（），或稱流束，是通過一個表面或一個物…
向量
向量（，在中国大陆物理、工程领域通称-{矢}-量），是具有大小和方向的量，且其运算必须遵循特殊定则及满足特殊定律。在纯数学中，向量可以没有单位。 在数学中，向量是指欧几里得向量（Euclidean vector），又称几何向量（geometric vector）、空间向量（spatial vector），是向量空间（或称线性空间）中的元素，属于一几何对象或是抽象的数学对象。它不仅具有大小（量值、模）和方向，其运算必须严格遵循一组代数公理…
高斯定律
]] 高斯定律（）表明在闭合曲面内的电荷分佈與產生的電場之間的關係： 其定性描述為：穿越出任意閉合曲面的淨電通量等於該閉合曲面內的淨電荷除以电容率。該閉合曲面稱為高斯曲面。 真空中高斯定律積分形式为：\Phi_E =\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\vec{E}\cdot d\vec{a}=\dfrac{Q_{enc}}{\varepsilon_…
曲面积分
数学上，曲面积分，也称为面积分（），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。 标量场的面积分 考虑定义在曲面S上的實函數 f，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函數 f 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟…
高斯重力定律
高斯重力定律也称为高斯引力通量定律，描述的是通过一个闭曲面的引力通量与其中包含的质量之间的关系，本质上等价于牛顿万有引力定律。尽管它们具有等价性，但许多时候高斯重力定律提供了一种比牛顿万有引力定律更为简便的求解引力问题的方法。 高斯重力定律在形式上与静电学的高斯定律相同(也是麦克斯韦方程组中的一个方程)。事实上，它们都是三维空间中力场与距离平方反比(库仑定律)的结果。 定律的定性描述 定义引力场 g 为空间中每一点及每一时刻该处的假想放…
向量場
在向量微积分和物理学中，向量場（）是把空間中的每一点指派到一個向量的映射。物理學中的向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。 定義 設X是Rn裡的一個连通開集，一個向量場就是一個向量函數 : \mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n 我們稱 \mathbf{F}為一個Ck向量場，如果 \mathbf{F}在X上是k次連續可微的。 在X內，一個點x被稱為固定的，若 : \mathbf{F}(\math…
保守向量场
如果一个向量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守向量场（）。有两个密切相关的概念：路径无关和无旋向量场。任何一个保守向量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无关的性质。 定义 一个向量场 \mathbf{v} 將在滿足下述條件時称为保守的：如果存在一个标量场 \varphi ，使得： : \mathbf{v}=\nabla\varphi. 在这里，\nabla\varphi表示\varphi的梯度。当以上的等式成立时，\varph…
法线
三维平面的法线，或稱法向量（）是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。 法線是与多边形（polygon）的曲面垂直的理論線，一個平面（plane）存在無限個法向量（normal vector）。在電腦圖學（computer graphics）的領域裡，法線決定著曲面與光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法…
在圆柱和球坐标系中的del
下面是常用于正交中的一些向量微积分公式。 注释 本文对球坐标使用标准符号ISO 80000-2，它取代了ISO 31-11，（部分其他来源可能有着颠倒θ和φ的定义）： 极角表示为θ：它是在z轴与连接原点和目标点的径向向量之间的角度。 方位角表示为φ：它是在x轴与径向向量在xy面上的投影之间的角度。 函数可以用于替代数学函数。这是由于它的定义域和像的缘故，经典arctan函数的像为，而atan2定义的像为。 坐标转换 单位向量转换 :本页…
向量值函数
向量值函数，有时也称为向量函数，是一个单变量或多变量的、值域是多维向量或者无穷维向量的集合的函数。向量值函数的输入可以是一个标量或者一个向量（定义域的维度可以是1或大于1）；定义域的维度不取决于值域的维度。 样例：螺旋 一类常见的向量值函数依赖于单个实参数t（通常表示时间），而其输出是向量 v(t)。
贝尔特拉米矢量场
贝尔特拉米矢量场（）是指旋度与其自身平行的三维矢量场，以意大利数学家贝尔特拉米的名字命名。贝尔特拉米矢量场满足 :\mathbf{F}\times (\nabla\times\mathbf{F})=0. 如果\mathbf{F}为螺线矢量场，即\nabla \cdot \mathbf{F} = 0（如不可压缩流体或磁场），则\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) \equiv -\nabla^2…
能量通量
能量通量（），又稱為能流，為能量傳遞通過一表面的時變率。此一物理量可有兩種定義，端看所在領域： 單位面積的能量傳遞時變率。 (SI單位：W·m−2 = J·m−2·s−1) # 此乃一向量，其分量由測量表面的法向量而定。 # 有時候也稱為「能量通量密度」，以與第二種定義作區隔。 # 輻射通量、熱通量、聲能通量為能量通量密度的特例。 總能量傳遞時變率。 (SI單位：W = J·s−1) # 有時也非正式地稱作「能流」。 相關條目 通量 照…
旋度
在向量分析中，旋度（）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。 旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。如果向量场表示一个移动的流形的流速，则旋度是这个流形的环量面密度。旋度为零的向量场叫做无旋向量场。旋度是向量的一种微分形式。微积分基本定理的对应形式是开尔文-斯托克斯定理，它将向…
三重积
三重积，又稱混合積，是三个向量相乘的結果。向量空間中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分別稱作标量三重积和向量三重积。 标量三重积 定義 标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。 設\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}為三個向量，則标量三重积的定義為 ::\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})。 特性 設 \math…