積分常數
積分常數是（）指在微積分中，函數的不定積分表示式中會出現的一個待定常數，一般會用 C 表示，一函數的反導數有無窮多個，但其中除了積分常數不同外，其餘部份均相同。 簡介 任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數F(x)，因為(F(x) + C)' = F\,'(x) + C\,' = F\,'(x)，加上或減去一常數 C 後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。 例如，假設需要求得 \cos(x…
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穷竭法
穷竭法 (; )，有时被误译为“穷举法”，是一种求图形面积的方法，其通过构造一个多边形序列，使这些多边形的面积收敛到所求图形面积。如果这个多边形序列构造得当，那么其第n项的面积与所求图形面积之差在n足够大时便可以小于任意给定正数。因为这个面积差可以任意小，是故该图形面积的可能值便系统性的被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界“穷竭”掉了。 穷竭法在应用时一般须诉诸归谬法，后者是反证法的一种形式。具体来说就是，为了求某图形面积，而…
非初等積分
数学上的非初等積分是指某反導數（或不定積分）是初等函數的反導數，但其自身不是初等函數。1835年的刘维尔定理證明了非初等積分存在。此定理也提供了Risch算法的基礎，可以判定哪些初等函數的反導數也是初等函數（不過不太容易）。 範例 以下是一些其反導數是非初等積分的函數範例： \sqrt{1 - x^4}（对数积分） e^{-x^2}。 初始函數積分的閉包即為劉維爾函數。 相關條目 代數函數 封閉形式 导数 微分代数 积分表 刘维尔定理 …
曲面积分
数学上，曲面积分，也称为面积分（），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是實数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的經典物理學中。 标量场的面积分 考虑定义在曲面S上的實函數 f，计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片，假设函數 f 在每小片的變化不大，且每個小片的近似計算的面積跟…
富比尼定理
富比尼定理（）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。 定理 若 :\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)， 其中A和B都是σ-有…
局部可积函数
在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。 常见定义 设\Omega为欧几里得空间\mathbb{R}^n中的一个开集。设\scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C}是一个勒贝格可测函数。如果函数f在任意紧集K\subset \Omega上的勒贝格积分都存在： : \int_K | f| \mathrm{d}x 那么就称函数f为一个\Omega-局部可积的函数。所有在\Omega上局部可积的函…
积分
积分（）是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x)， f(x)在一个实数区间 [a,b]上的定积分 :\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x 可以在数值上理解为在 \textstyle Oxy坐标平面上，由曲线 (x,f(x))（x\in [a,b]），直线x=a，x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值。 f(x)的不定积分（或原函数）是指任何满足导数是函…
绝对收敛
绝对收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。一个数项级数或一个积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值（或范数）後仍然收敛或可积。比如，一个实数项或复数项级数 \sum_n a_n绝对收敛当且仅当\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| 。某个函数f(x)的广义积分或瑕积分\int_I f(x) \mathrm{d}x是绝对收敛的，当且仅当取绝对值或范数後的函数的积分收敛：\int_I |f(…
双曲角
雙曲角是指在笛卡儿坐标平面上，由原點\left( 0, 0 \right)出發的兩條射線與標準雙曲線xy = 1相交處\left( x, 1/x \right)及\left( 1, 1 \right)之間的角。這個雙曲角的量級是等於這個雙曲線扇形的面積，相等於\ln x。在日常生活中，雙曲角較少有應用之處，一般只用於工程或數學運算中。 與圓角不同的是：雙曲角的範圍並沒有界限；這是因為雙曲角的值與自然對數相關，而這亦與調和級數的本質相關。…
里施算法
里施算法（），是一个由罗伯特·亨利·里施而得名的計算不定積分（反導函數）的算法。里施算法可以將積分的問題轉換為代數的問題。里施算法以要積分函數的形式為基礎，而且配合有理函數、方根、指數及對數函數的積分方式。 里施在1968年提出此算法，將此算法視為決定性程序，因為此算法可以判定一个函数的不定積分是否为初等函數；若答案是肯定的，算法还可以找出此不定積分。 在及史蒂芬·R·查波爾（Stephen R. Czapor）、喬治·拉班（Georg…
指示函数
在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。 集X的子集A的指示函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace，定义为 : A的指示函数也记作\chi_A(x)\,或I_A(x)\,。 简单性质 把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。 如果A和B是X的两个子集，那么 :1_{A\…
分部積分法
分部積分法又稱作部分積分法（），是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 規則 假設h(x)\ 與k(x)\ 是兩個連續可導函數。由乘積法則可知 :\frac{{\rm{d}}(hk)}{{\rm{d}}x}=\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}k +h\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x} 對上述等式…
不定积分
不定積分（），也可稱反導函數（）或原函数。在微积分中，函数 f 的不定积分是一个可微函數 F，其导数等于原來的函數 f，即 F' = f 。 不定積分在原先的定義上並沒有設定區間，會與導函數間相差一常数C。若導函數的定義是有區間的，請參照定積分。 不定积分和定积分间的关系係由微积分基本定理聯繫起來，函数的定积分可以透過先求得不定積分再帶入數字来運算。 性质 有一函數K(x)與其自變數x。當K^\prime(x)=k(x)並在區間I中滿足…
積分算子
積分算子是和積分有關的算子，以下是一些積分算子的例子： 積分運算本身，會用积分符号表示。 ，是由有關積分的雙線性形式而有的线性映射。 * 积分变换，是兩個函数空间之關，和積分有關的變換。
旋轉曲面
旋转曲面是一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生产的曲面，其中曲线C称之为该旋转曲面的母线，直线L称为该旋转曲面的旋转轴。 例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。 面积 如果曲线由参数方程x(t)、y(t)给出，其中a，且旋转轴是y轴，则旋转曲面A的面积由以下的积分给出： : A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\ri…
积分第二中值定理
积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。 内容 若f, g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点\xi使 :\int_a^b {f(x)g(x)\mathrm{d}x = } f(a)\int_a^\xi {g(x)\mathrm{d}x+ } f(b)\int_\xi ^b {g(x)\math…
降次积分法
降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法、三角换元法、分部积分法、部分分式積分法等方法求出降次公式，将原函数（如I_n）用低次的函数形式（如I_{n-2}）表示。然后将n代成想求的数，逐步降次，直至降至0或1为止，借助积分表得出结果。 例子 如在求\int \cos^5 (x) \, dx\!时，需要先求得\int \cos^n (x) \, dx\!的降次公式，过程如下： :I_n \, = \int \cos^n (x)…
三角换元法
三角换元法是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。 含有a^2-x^2的积分 在积分 :\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} 中，我们可以用以下的代换 :x=a\sin\theta,\ dx=a\cos\theta\,d\theta :\theta=\arcsin\frac{x}{a} 这样，积分变为： :\begin{align} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \int\…
曲线积分
在数学中，线积分（）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在對應域內拉長了切向量絕對值的長度，這也是曲线积分与一般区间…
积分判别法
积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当f(x)非负递减时，級數\sum_{n=1}^\infty f(n)收歛当且仅当積分\int_1^\infty f(x)\,dx有限。在17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西发展了這個方法。 证明 考虑如下积分 : \int_n^{n+1} f(x)\, dx 注意f(x)单调递减，因此有： : f(n+1) \leq \int_n^{n+…