三角换元法

三角换元法是一种计算积分的方法，是换元积分法的一个特例。
含有a^2-x^2的积分
在积分

:\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

中，我们可以用以下的代换

:x=a\sin\theta,\ dx=a\cos\theta\,d\theta
:\theta=\arcsin\frac{x}{a}

这样，积分变为：

:\begin{align}
\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}} \\
&= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}}\\
&=\int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta}} \\
&= \int d\theta=\theta+C\\
&=\arcsin\frac{x}{a}+C\\
\end{align}

注意以上的步骤需要a>0 和\cos\theta>0 ；我们可以选择a 为a^2 的算术平方根，然后用反正弦函数把\theta 限制为-\frac{\pi}{2}。

对于定积分的计算，我们必须知道积分限是怎样变化。例如，当x 从0增加到\frac{a}{2} 时，\sin\theta 从0增加到\frac{1}{2} ，所以\theta 从0增加到\frac{\pi}{6} 。因此，我们有：

:\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int_0^{\frac{\pi}{6}}d\theta=\frac{\pi}{6}.

含有a^2+x^2的积分
在积分

:\int\frac{dx}{a^2+x^2}

中，我们可以用以下的代换：

:x=a\tan\theta,\ dx=a\sec^2\theta\,d\theta

:\theta=\arctan\frac{x}{a}

这样，积分变为：

:
\begin{align}
\quad \int\frac{dx}{a^2+x^2} &= \int\frac{a\sec^2\theta\,d\theta}{a^2+a^2\tan^2\theta} \\
&= \int\frac{a\sec^2\theta\,d\theta}{a^2[1+\tan^2\theta]} \\
&= \int \frac{a\sec^2\theta\,d\theta}{a^2\sec^2\theta} \\
&= \int \frac{d\theta}{a} \\
&= \frac{\theta}{a}+C \\
&= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C
\end{align}

（a > 0）。

含有x^2-a^2的积分
以下的积分

:\int\frac{dx}{x^2 - a^2}

可以用部分分式的方法来计算，但是，

:\int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx

则必须要用换元法：

:x = a \sec\theta,\ dx = a \sec\theta\tan\theta\,d\theta

:\theta = \arcsec\frac{x}{a}

:
\begin{align}
\quad \int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx&= \int\sqrt{a^2 \sec^2\theta - a^2} \cdot a \sec\theta\tan\theta\,d\theta \\
&= \int\sqrt{a^2 (\sec^2\theta - 1)} \cdot a \sec\theta\tan\theta\,d\theta \\
&= \int\sqrt{a^2 \tan^2\theta} \cdot a \sec\theta\tan\theta\,d\theta \\
&= \int a^2 \sec\theta\tan^2\theta\,d\theta \\
&= a^2 \int \sec\theta\ (\sec^2\theta - 1)\,d\theta \\
&= a^2 \int (\sec^3\theta - \sec\theta)\,d\theta.
\end{align}

含有三角函数的积分
对于含有三角函数的积分，可以用以下的代换：

:\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad u=\sin x

:\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x

:\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad u=\tan\frac x2

:\begin{align}
\int\frac{\cos x}{(1+\cos x)^3}\,dx &= \int\frac2{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\,du \\
&=\frac{1}{4}\int(1-u^4)\,du \\
&= \frac{1}{4}\left(u-\frac15u^5\right) + C \\
&= \frac{(1+3\cos x+\cos^2x)\sin x}{5(1+\cos x)^3} + C
\end{align}

参见

• 正切半角公式