旋转体
在数学和工程学中，旋转体（）是指平面曲线以同一平面内的一条直线作为旋转轴进行旋转所形成的立体几何图形。 根据古尔丁定理，如果曲线和旋转轴不相交，那么旋转体的体积，等于原曲线所围成平面图形的面积乘以该平面图形的几何中心经过的距离。 在中学数学中的圆柱、圆锥、球等图形是较简单的旋转体。 计算体积 计算旋转体的体积有两种积分的方法，分别是圆盘法和圆柱壳法。 圆盘法 圆盘法是通过将图形按垂直于旋转轴的平面切成无数个圆盘，然后沿着旋转轴进行积分。…
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换元积分法
换元积分法，又稱變數變換法（），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。 第一类换元法 设f(x)\ 为可积函数，g=g(x)\ 为连续可导函数，则有： : \int^\beta_\alpha f(g)g'\mathrm{d}x=\int^{g(\beta)}_{g(\alpha)}f(g)\mathrm{d}g 第一类换元法的基本思想是配凑的思想。 第二类换元法 设f(x)\ 为可积函数，x=x(g)\ 为连续可导函数…
多重积分
多重积分（）是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数（多变量的函数），例如求f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分。 简介 正如单变量的正函数的定积分代表函数图像和x轴之间区域的面积一样，正的双变量函数的双重积分代表函数所定义的曲面和包含函数定义域的平面之间所夹的区域的体积。（注意同样的体积也可以通过三变量常函数f(x, y, z) = 1在上述曲面和平面之间的区域中的三重积分得到。若有更多变量，则多元函数的多重积分给出超…
反常積分
廣義積分，又称为反常积分、异常积分（ ），是对普通定积分的推廣。 广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 第一類反常積分 定義 第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下： 设函数 f(x) 在 [a,+\infty) 上連續且可積。定義無窮積分： :\int_a^{\infty}f(x)\,d…
积分方程
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类： : f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi (t)\,dt, 其中，f和K已知，K又称核函数，\phi为所求未知函数。积分上下限a，b为常量。 如未知函数同时出现在积分符号内外，则该方程称作第二类：： : \phi (x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,…
随机分析
随机分析（）是对随机过程进行运算的概率论分支，主要内容有伊藤积分、随机微分方程（又包括随机偏微分方程和倒向随机微分方程）等等。 随机性模型是指含有随机成份的模型。 所以现代自然科学都以统计与归纳法作为理论基础。大体说统计学是適用确定性模型与随机性模型作比较的一门学科。 应用随机分析的最知名的随机过程是维纳过程（得名于诺伯特·维纳），用于模拟Louis Bachelier（1900）和爱因斯坦（1905）描述的布朗运动及受随机力作用的粒子…
条件收敛
条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。 详细定义 条件收敛的级数 给定一个实数项无穷级数A = \sum_{n} a_n，如果它自身收敛于一个定值C \in \mathbb{R}： : \sum_{n=1}^\infty a_n = C, 但由每一项的绝对值构成的正项级数：A_s…
积分第一中值定理
积分第一中值定理的内容为： 设 f:[a,b]\rightarrow \mathbf R 为一连续函数，g:[a,b]\rightarrow \mathbf R 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 \xi\in [a,b] 使得 : \int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx。 事实上，可以证明，上述的中值点\xi必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存…
狄利克雷積分
在数学中，有不只一个积分称作狄利克雷積分，都由德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷提出。 其中一个內容如下： : \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2} 这个积分不是绝对收敛的，因此勒貝格積分甚至不能定义这个积分，但它在黎曼积分或Henstock–Kurzweil积分是有定义的。 可以通过多种方式导出这个（黎曼或Henstock）积分的值。例如，该值可以通过计算双…
莱布尼兹公式
莱布尼兹公式可以指： 牛顿-莱布尼兹公式：定積分可以用反導函數計算（微積分第二基本定理）。 π的莱布尼茨公式：將π/4寫成單位分數的（帶正負號）無窮和。 行列式的萊布尼茨公式：行列式的一種定义 莱布尼兹法则：高阶导数的求法
弧长
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。最早研究的曲线弧长是圆弧的长度。为了计算圆周的长度，数学家发明了用直线段近似的方法，并应用到其他的曲线上。微积分出现后，数学家开始用积分的方式计算曲线的弧长，得出了许多特殊曲线的弧长的精确表达式。 一般方法 计算平面上一段曲线的弧长，最早也是最直接的方法是用一些直线段来作出和曲线相似的形状，以直线段的长度代替曲线的弧长。具体的方法是…
部分分式积分法
部分分式积分法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。 例子 以下是一个简单的例子。计算\int {10x^2+12x+20 \over x^3-8}\,dx时，需要先将它拆分为部分分式： :{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={1…