积分第一中值定理的内容为：
设 f:[a,b]\rightarrow \mathbf R 为一连续函数，g:[a,b]\rightarrow \mathbf R 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 \xi\in [a,b] 使得
: \int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx。
事实上，可以证明，上述的中值点\xi必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。
证明
因为 f\ 是闭区间上的连续函数，f\ 取得最大值 \Mu\ 和最小值 \mu\ 。于是
: \Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)。
对不等式求积分，我们有
: \Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x。
若 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0，则 \int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0。\xi\ 可取 [\alpha,\beta]\ 上任一点。
设 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0，那么
: \Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu。
因为 \Mu\geq f(x)\geq\mu是连续函数，根據介值定理，必存在一点 \xi\in[\alpha,\beta]，使得
: f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}。
中值点在开区间内存在的证明
已知f(x)在[a,b]上连续，设F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt。
知F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：
: \dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)，其中\xi\in(a,b)
即
: \dfrac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)
所以
: \int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)。
参考文献
由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导"
所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为
“知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”
否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能
此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么\xi\in[a,b]可以改为 \xi\in(a,b)。
因为 f(x)在 [a,b]上连续，所以f(x)在 [a,b]上有最大值 M和最小值 m。设f(x_1)=m，f(x_2)=M，x_1，x_2\in[a,b]，如果m=M，则f(x)是常值函数，任取\xi\in(a,b)即可。如果 m，由于函数M-f(x)连续且有一点x_1使 M-f(x_1)>0 ，所以由积分性质有
\int_{a}^{b}[M-f(x)]\,dx>0，即
:M(b-a)>\int_{a}^{b}f(x)\,dx
同理可得 m(b-a),故有
:m
由连续函数的介值定理，至少存在一点\xi\in(x_1,x_2)⊂(a,b)（或(x_2,x_1)⊂(a,b)），使得\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi)，即
:\int_a^b f(x)\,dx= f(\xi)(b-a)
注：以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大．第四版 上册》
另请参见
*中值定理
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