庞加莱猜想
龐加莱猜想（），或稱裴瑞爾曼定理，是几何拓扑学中的一條定理，最早由法国数学家儒勒·昂利·庞加莱提出，是克雷數學研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但並未現身領獎。 基本描述 在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基於恩里科·貝蒂的工作而發展出的同調論，可以判定一個三維流形是否同胚于三維球面。不過，他在1904年發表的一篇論文中，舉出了一個反例，現在稱為…
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数学定理列表
在数学中，定理（）為經過邏輯限制的證明為真的數學敘述。與此相對的猜想，或稱命题，則是相信為真，但未被證明的數學敘述。猜想成立後可成為定理，但定理也能透過其他定理引伸來。 本列表將列出所有數學定理。 0-9 15-定理 2π定理 A 阿贝尔-鲁菲尼定理 阿蒂亚-辛格指标定理 阿贝尔定理 安达尔定理 阿贝尔二项式定理 阿贝尔曲线定理 艾森斯坦定理 奥尔定理 阿基米德中点定理 阿基米德原理 埃尔布朗定理 阿达马三圆定理 阿尔泽拉-阿斯科利定理…
哥德尔不完备定理
哥德尔不完备定理（）是数理逻辑中的两条定理，探讨了形式化公理系统中可证明性的局限性。这些结果由库尔特·哥德尔于1931年发表，在数理逻辑和数学哲学领域都具有重要意义。人们普遍认为，这些定理表明希尔伯特计划——即为所有数学寻找一套完备且一致的公理系统——是不可能实现的。 第一定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在系统…
斯托克斯定理
斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 ℝ³ 上的斯托克斯公式 旋度定理…
费马小定理
费马小定理（）是数论中的一个定理。假如a是一个整数，p是一个質数，那么a^p - a 是p的倍数，可以表示为 :a^p \equiv a \pmod{p} 如果a不是p的倍数，這個定理也可以寫成更加常用的一種形式 :a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} 註：如果a是p的倍数，則 :a^{p-1} \equiv 0 \pmod{p} 費馬小定理的逆敘述不成立，即假如a^p - a 是p的倍数，p不一定是一个質数。例如2^{3…
等周定理
等周定理，又稱等周不等式（），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若P為封闭曲線的周界长，A為曲線所包圍的區域面積，4 \pi A \le P^2。 虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证…
塞梅雷迪正則性引理
在極值圖論中，塞梅雷迪正則性引理（）由 Endre Szemerédi 證明
开世定理
在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。 叙述 开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为\,R 的一个圆\,O，圆内又有四个圆\,O_1, O_2, O_3, O_4 内切于圆\,O（如右图）。如果将圆\,O_i, O_j 的外公切线的长度设为\,t_{ij}，那么开世定理声称，有下列等式成立。 :\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} …
質數定理
在數論中，素数定理（）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。 素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π…
角谷不动点定理
在数学分析中，角谷不动点定理（）是一个适用于集值函数的不动点定理。它为在定义在欧几里德空间中的紧凸集上的集值函数提供具有不动点的充分条件，也即一个可以映射到包含自身的集合的点。角谷不动点定理是布劳威尔不动点定理的泛化。布劳威尔不动点定理是拓扑学的基础定理，它证明了定义在欧几里得空间的紧致，凸子集上的连续函数具有不动点。角谷静夫将此定理泛化到了集值函数。 此定理1941年由角谷靜夫提出，曾被纳什用于描述纳什均衡。之后，此定理在博弈论和经济…
范德瓦尔登定理
范德瓦尔登定理（）是数论中的一个定理，由荷兰数学家巴特尔·伦德特·范德瓦尔登证明。对于任意给定的正整数 r 和 k，总存在正整数N，使得把数 {1，2，……，N} 染成 r 种颜色时, 对每一种染色方式,都存在k个数组成的等差数列染同一种颜色的。这个最小的N叫做范德瓦尔登数 V(r,k)。这个定理可视作拉姆齊理論领域的一个结果。 例如，V(2,3)=9，因为可以把整数 {1, 2, …, 8} 涂成以下的颜色： 但无论如何，都不能把数{…
布勞威爾不動點定理
证明了与布劳威尔不动点定理等价的一个定理。定理在三维空间情况下的确切叙述由皮耶·波尔在1904年证明，而一般情况下的定理有雅克·阿达马在1910年证明。魯伊茲·布勞威爾在1912年提出了一个新的证明方法。]] 在数学中，布勞威爾不动点定理（）是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连…
开映射定理
在泛函分析中，开映射定理（open mapping theorem，亦称巴拿赫-绍德爾定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地: 如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)就是Y内的开集…
达布定理 (微分几何)
达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理，部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布 命名，他在解 Pfaff 问题 时建立了这个定理。 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说，任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cn。应用于切触几何也有类似的结论。 定理的陈述和第一个推论 定理准确的陈述如下。 设 θ 是一个 n 维流形上的 …
韦达定理
在數學上，韦达定理（），又称根與係數的关系，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。 韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。 内容 设 P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 a_n\neq 0，令 P 的 n 個根為 x_1, x_2,…
庞加莱-本迪克松定理
在数学中，庞加莱-本迪克松定理（）是一个关于二维平面上的连续动力系统的轨道的变化趋势的定理。 简介 庞加莱-本迪克松定理说明了：如果在二维的平面上的连续动力系统的某一个解的轨道被限制在一个紧区域内，那么在时间足够长之后，这个轨道要么逼近某一个奇点，要么逼近某一个周期轨道（极限环）。因此，一维或者二维平面上的连续动力系统是不可能出现混沌现象的。混沌现象只可能出现在三维或以上维数空间上的连续动力系统中。但是要注意的是：庞加莱-本迪克松定理对…
本迪克森-杜拉克定理
在数学裡，本迪克森-杜拉克定理（）说明了对于一个二维的驻定动力系统 : \frac{ dx }{ dt } = X(x,y), : \frac{ dy }{ dt } = Y(x,y) 如果存在\varphi ( x,y) 使得 :\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } \ne 0 在研究区域（必须…
惠特尼连通性定理
图论中，惠特尼连通性定理（），简称惠特尼定理（），是美國數學家哈斯勒·惠特尼于1932年提出的关于2连通图等价性质的定理，该定理提供了关于2连通图的不同点对之间的连通性质刻画，描述了2连通图的特殊性质。 定理陈述 对一个图G，若G至少存在3个点，则G是2连通的当且仅当对G中任意两个点u, v，G中至少存在连接u, v的2条内部不相交路径，即除首尾相同（皆為u, v）外，沒有其他公共頂點的路徑。 定理证明 必要性 因为任意两点之间均存在路…
拉格朗日恒等式
在代数中，以约瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是： : \begin{align} \biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 & = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n(a_i b_j - a_j b_i)^2 \\ & \biggl(= …
無限猴子定理
隨機地打字，只要时间足够，幾乎必然可以打出法國國家圖書館中的每本書。]] 無限猴子定理（）的表述如下：让一只猴子在打字机上随机地按键，当按键时间达到无穷时，几乎必然能够打出任何给定的文字，比如莎士比亚的全套著作。 在这里，几乎必然是一个有特定含义的数学术语，“猴子”也不是一只真正意义上的猴子，它被用来比喻成一个可以产生无限随机字母序列的抽象设备。这个理论说明把一个很大但有限的数看成无限的推论是错误的。猴子精确地通过键盘敲打出一部完整的作…