惠特尼不等式
在图论中，惠特尼不等式 (英：Whitney's connectivity inequalities or Whitney's inequalities)，又称为惠特尼连通性不等式，是关于图的连通度的重要不等式，几乎出现于任何一本图论教科书中。该不等式明确地指出了图的点连通度与边连通度以及与图最小度之间的大小关系。但目前关于该定理的提出者是否是哈斯勒·惠特尼还没有统一定论。 叙述 对于任何一个非平凡图G，均满足 \kappa(G)\le…
标签：#数学定理
共 96 篇文章
伯特蘭-切比雪夫定理
伯特蘭-切比雪夫定理說明：若整數n>3，則至少存在一個質數p，符合n。另一個稍弱說法是：對於所有大於1的整數n，存在一個質數p，符合n。 1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1852年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明，而艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。 相關定理 西爾維斯特定理 詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明：k個大於k的連續整數之積，是一個大於k的質數的倍數。 艾狄胥…
刘维尔定理 (哈密顿力学)
在物理学中，刘维尔定理（）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。换一种表述，就是共轭相空间里，一个哈密顿系统的相体积不可压缩。 它以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名。这也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。 刘维尔方程 刘维尔方程描述了相空间分布函数（尽管数学中准确术语是测度，物理学家一般称为分布）的时间演变。考虑一…
对数求和不等式
对数求和不等式（Log sum inequality）是一个不等式 ，可用于证明信息论中的多个定理。 定理陈述 对任何非负实数 a_1,\ldots,a_n 和正数 b_1,\ldots,b_n ，并记 :a:=\sum_{i=1}^n a_i 及 b:=\sum_{i=1}^n b_i 则有如下的对数求和不等式： :\sum_{i=1}^n a_i\log\frac{a_i}{b_i}\geq a\log\frac{a}{b}, 上式…
毛球定理
在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）说明了偶数维单位球面上的连续而又处处不为零的切向量場是不存在的。具体来说，如果 f 是定义在一个单位球面上的连续函数，并且对球面上的每一点 P ，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球面上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球…
低基定理
低基定理是关于不可解度的定理。 定理 设 A\subseteq 2^\omega 为无穷长二进制串的集合，若自然数的语言中存在递归公式 \theta，使 X\in A 当且仅当 \forall n\,\theta(n,X\vert n)（注：X\vert n 是二进制串 X 的前 n 位）为真，则定义 A 为 \Pi^0_1 类。 若将无穷长二进制串的第 n 位理解成“n 是否属于该集合”，则 2^\omega 自然对应了自然数集合的子…
富比尼定理
富比尼定理（）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。 定理 若 :\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)， 其中A和B都是σ-有…
海涅定理
海涅定理，得名于德国数学家爱德华·海涅，在数学分析中连接了函数极限和序列极限。该定理表明函数极限的存在性和值可被刻画为所有收敛到那个点的序列的极限。反过来，序列极限的条件也可以用来求取函数极限。因此，函数极限的很多性质可从对应的序列极限性质导出。 特别地，这个定理包括两部分： 正面陈述：设 f 为一函数，令 a 为 f 定义域的极限点（聚点）。若 \lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L, 则对每一个收…
切消定理
切消定理（cut-elimination theorem (or Gentzen's Hauptsatz)）是确立相继式演算重要性的主要结果。它最初由格哈德·根岑在他的划时代论文《逻辑演绎研究》对分别形式化直觉逻辑和经典逻辑的系统LJ和LK做的证明。切削定理声称在相继式演算中，拥有利用了切规则的证明的任何判断，也拥有无切证明，就是说，不利用切规则的证明。 相继式是与多个句子有关的逻辑表达式，形式为"A, B, C, \ldots \vd…
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
施罗德-伯恩斯坦定理（），又称康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理（）是集合论中的一个基本定理，得名于康托尔、伯恩斯坦和施罗德。该定理陈述说：如果在集合 A 和 B 之间存在单射 f : A → B 和 g : B → A，则存在一个双射 h : A → B。從势的角度來看, 这意味着如果 |A| ≤ |B| 并且 |B| ≤ |A|，则 |A| = |B|，即A与B等势。显然，这是在基数排序中非常有用的特征。 证明 下面是证明： 证明： 令 …
阿姆达尔定律
阿姆達爾定律（，），一個計算機科學界的經驗法則，因吉恩·阿姆達爾而得名。它代表了處理器并行運算之後效率提升的能力。 基本描述 平行運算中的加速比是用并行前的执行速度和并行后的执行速度之比来表示的，它表示了在并行化之后的效率提升情况。 阿姆达尔定律是固定负载（计算总量不变时）时的量化标准。可用公式：\frac{W_s + W_p}{W_s + \frac{W_p}{p}}来表示。式中W_s, W_p分别表示问题规模的串行分量（问题中不能并…
欧几里得定理
欧几里得定理（）是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。 欧几里得的证明 欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下： 对任何有限素数的集合{p_1, p_2, ..., p_n}。在这裡将会证明最少存在一个集合中沒有的额外素数。令P = p_1 p_2 ... p_n及q = P+1。那么q是素数或者不是，二者必居其一： 如果q是素数，那么至少有一个素数不在有限素数集{p_1…
演绎定理
演绎定理是数理逻辑的一個核心規則，它清晰地描述元語言的純符號組合所做的演繹與逻辑语言裡的实质条件的聯繫。 簡介 演绎定理通常被視為元定理，也就是以元語言來描述的符號組合規則（也就是推理规则，如肯定前件）為基礎，配上邏輯公理（被認為＂永遠為真＂的一套合式公式）為前提去證明的某種規則，通常都有以下的形式：（以下\mathcal{A}_1,\,\cdots,\,\mathcal{A}_n 、 \mathcal{B} 為任意合式公式） :「若根…
单值化定理
数学上，曲面的单值化定理是说任何曲面上都有一个常高斯曲率的完备度量。事实上，在每一个给定的共形类中，都可以找到一个常高斯曲率的度量。等价的說，用复分析的语言，任何单连通的黎曼曲面都共形等价於复平面、单位圆盘和黎曼球面三者之一。
约翰逊-林登斯特劳斯定理
约翰逊-林登斯特劳斯定理（），又称约翰逊-林登斯特劳斯引理（Johnson–Lindenstrauss lemma），是由和于1984年提出的一个关于降维的著名定理，在现代机器学习，尤其是压缩感知、降维、和等领域中有很重要的应用。 这个定理指出，一个高维空间中的点集，可以被线性地镶嵌到低维空间中，同时其空间结构只遭受比较小的形变。约翰逊-林登斯特劳斯定理的证明，还说明了如何用明确地求出这个变换，所用的算法只需要随机多项式时间。当然，降维…
波斯纳–罗宾逊定理
波斯納–羅賓遜定理（）是可计算性理论中关于不可解度的定理。 定理 设 B\subseteq\mathbb{N} 不可计算，则存在集合 G 令 G\oplus B\ge_T G^\prime。 证明 这一定理证明如下：令 \Phi_G\subseteq \omega\times\{0,1\}\times2^{，则 \Phi_G 可以看作是一个函数 2^\omega\to2^\omega，具体定义为 a\in\Phi_G(X) 当且仅当存在…
里斯表示定理
在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。 希尔伯特空间的表示定理 此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。 定理： H 是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 f:H\to\C ，存在唯一的 v_f \in H 使得 : f(h) = \langle v_f,\,h\rangle 證明的重點在於先證明 f 的核的正交补是 H 的一维子空间，然後取那…
最小上界性
数学中，最小上界性（亦称上确界性，） 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价 。 集合具有最小上界性当且仅当的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。 性質概述 實數 令S為實數集的一個非空子集。 如果實數x大於或等於所有S中的元素，則x稱為S的上界。 如果實數x是S的上界，并且x小於或等於所有S的上界，則x稱為S的最小上界。 最小上界性的表述為 : 所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。 一般序…
法图引理
在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 叙述 设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么： : \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}…
勒文海姆–斯科伦定理
在数理逻辑中，经典勒文海姆–斯科伦定理（）声称对于标识（signature）为 的任何可数一阶逻辑语言 L 和 L-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 N \subseteq M。 这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。 这里的标识由常量集合 \mathbf{C}、函数集合 \mathbf{F}、关系符号集合 \mathbf{R}、和表示函数和关系符号的元数的函数 \sigma: \mathbf{F} \cu…