在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。
叙述
设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么：
:
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
\le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.
其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。
证明
定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设f为函数列(f_n)_{n \ge 0} 的下极限。对每个正整数k，逐点定义下极限函数：
:g_k=\inf_{n\ge k}f_n.
于是函数列g_1,g_2,\ldots单调递增并趋于f 。
任意k\leq n，我们有g_k\leq f_n，因此
:\int_S g_k\,d\mu\le \int_S f_n\,d\mu,
于是
:
\int_S g_k\,d\mu
\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.
据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：
:
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
=\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu
\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu
=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.
反向法图引理
令(f_n)为测度空间(S,\Sigma,\mu)中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 S上可积的正值函数g，使得对所有的n都有f_n \le g，那么
:
\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu
\ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu.
这里g只需弱可积，即\textstyle\int_S g\,d\mu。
证明：对函数列(g - f_n)应用法图引理即可。
推广
推广到任意实值函数
法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令(f_n)_{n \ge 0}为测度空间(S,\Sigma,\mu)中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在S上可积的正值函数g，使得对所有的n都有f_n \ge g，那么
证明：对函数列\scriptstyle ( f_n - g )应用法图引理即可。
逐点收敛
在以上的条件下，如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数\scriptstyle f，那么
:\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.
证明：\scriptstyle f是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。
依测度收敛
如果函数列在S上依测度收敛到f，那么上面的命题仍然成立。
证明：存在\scriptstyle (f_n)的一个子列使得
:\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.
这个子列仍然依测度收敛到\scriptstyle f，于是又存在这个子列的一个子列在S上μ-几乎处处逐点收敛到f，于是命题成立。
外部链接
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参考来源
- H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
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