三难困境
三难困境是指兩種特定的情境：有三個不想要的選項，但必須選擇其中一個；或是者有三個有利的選項，但同時只能選擇其中的二個。 這兩種情況是逻辑等价的。 三难困境衍生自一個較早期出現的詞語兩難，意即在二個或以上困難或不利的選擇中選其一。最早有紀錄使用三难困境一詞的人是1672年的英國牧師，在1725年英國的以撒华滋也有使用此一詞語。實務上有一些三难困境的例子，像經濟學中的三元悖論，也就是一個國家不可能同時完成資本自由進出、固定匯率以及獨立自主的…
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共 41 篇文章
Hautus引理
\Hautus引理（Hautus lemma）是在控制理论以及狀態空間下分析线性时不变系统時，相當好用的工具，得名自Malo Hautus，最早出現在1968年的《Classical Control Theory》及1973年的《Hyperstability of Control Systems》中 ，現今在許多的控制教科書上可以看到此引理。 主要結果 有許多有關引理的不同型式。 可控制性Hautus引理 可控制性Hautus引理提到若…
紹爾-謝拉赫引理
组合数学和中，紹爾-謝拉赫引理（）斷言，若集合族的VC维低，則該族不能有太多個集合。引理得名於諾貝特·紹爾和，兩人分別獨立於1972年發表此結果。較之略早，在1971年，弗拉基米尔·瓦普尼克和亞歷克塞·澤范蘭傑斯合著的論文已有此結果（「VC維」即以兩人為名）。謝拉赫發表引理時，亦歸功於，故引理又稱為佩爾萊斯-紹爾-謝拉赫引理。 布萨格洛等人稱其為「關於VC維的最根本結論之一」和图论。 定義及敍述 設 \textstyle \mathca…
佐恩引理
佐恩引理（）也被称为库拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合论中一个重要的定理，其陳述為： 在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，則此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。 佐恩引理是以数学家马克斯·佐恩的名字命名的。 具体来说，假设(P, \le)是一个偏序集，它的一个子集T称为是一个全序子集，如果对于任意的s, t \in T有s \le t或t \le s。而T称为是有上界的，如果P中存在…
引理
引理，又稱輔助定理，簡稱輔理 （ 古希臘語: λῆμμα, ）是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤的已證明命题，其意义并不在于自身已完成证明，而在于其为了达成最终目的而作出贡献。 一个引理可用于证明多个结论。数学中存在很多著名的引理，这些引理可能对很多问题的解决有帮助。例如欧几里得引理、乌雷松引理、德恩引理、法图引理、高斯引理、中山引理、阿貝爾引理、庞加莱引理、里斯引理和佐恩引理等。 引理和定理没有严格的区分。 参见 推论 各種數學…
谢泼德引理
薛福輔理（）是個體經濟學中的一个重要结论，在生产者理论和消费者理论等领域中都有所应用。 具体描述 在消费者理论中，谢泼德引理指出，對於给定的效用水準u和给定的各产品价格\mathbf{p}，某种产品i的需求量恰等于支出函数对其价格求偏导的结果： :h_i(\mathbf{p}, u) = \frac{\partial e(\mathbf{p}, u)}{\partial p_i}， 其中h_i(\mathbf{p}, u)为产品i的，e…
内曼-皮尔逊引理
在统计学中，内曼-皮尔逊引理（）是假设检验的基本引理，由耶日·内曼和埃贡·皮尔逊于1933年提出。引理指出当零假设和备择假设均为简单假设时，在所有显著性水平相同的检验中统计功效最大。 假设检验是根据样本的观察结果，判断关于总体的命题真伪的方法。若要对某一命题的真伪做出判断，两种错误可能会发生：在命题为真时判断它为假，和在命题为假时判断它为真，两者分别称为第一类错误与第二类错误。发生第一类错误的概率即称作显著性水平，而不发生第二类错误的概…
莫尔斯理论
在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。 在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量泛函的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 莫尔斯理论在复…
伊藤引理
在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。 伊藤引理较早版本 第一引理 对于布朗运动 W_t 和二次可导函数f(x)，以下等式成立： :df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f(W_t)dt 其中過程： :dtdt = 0 , dtdW_t = dW_tdt = 0 , dW_tdW_t = dt 其主要可…
闭形式和恰当形式
在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 \alpha 是微分算子 d 的核（又被称为零空间），即 d\alpha = 0 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) \alpha 是微分算子 d 的像，即存在某个微分形式 \beta 使得 \alpha = d\beta ， \beta 称为关于 \alpha 的一个“本原”。 因为 d^2=0，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可…
乌雷松引理
在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。 这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。 正式表述 乌雷松引理说明，X 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 A 和 B 是 X 的不交闭子集，就存在一个从 X 到单位区间 [0,1] 的连续函数： :f:X\to[0,1]， 使得对于所有 a\in A，都有 …
法图引理
在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 叙述 设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么： : \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}…
四句 (佛教)
四句（），又稱四門、四句分別、四句法，一種邏輯結構，最早出現在古印度佛教論師龍樹作品《中論》中。破除四句，稱為四句破、四句否定，是一種悖論與辯證方法，為早期中觀派的主要因明學特徵。 概論 所謂四句，最早出現在《中論》第一品： 這是由大乘佛教中觀派的創始者龍樹的作品中所發現的。龍樹利用四句破來描繪這個看似矛盾的現實本質，其中「世俗」的現實認為實體都是獨立存在的，而大乘佛教的「根本」現實（屬於空）則所有都是虛無的。 以現代數學來表達，其內容…
分部求和法
分部求和法（）也叫阿贝尔变换（，有别于）或阿贝尔引理（）是求和的一种方法。设\{f_k\}和\{g_k\}为两个数列，则有 :\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = \left[f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m\right] - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_k). 它被用来证明积分第二中值定理。 分部求和公式也可被写成比较对称的方式： :\sum _{i=m+1…
高斯引理 (多項式)
在代数學中 ，高斯引理以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。 高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。 高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。 整係數多項式版本 當一個整係數多項式 f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0的係數的最大公因數…
莫斯托夫斯基塌陷引理
在数理逻辑中，根據莫斯托夫斯基塌陷引理（），对任何结构 S，它带有良基关系 R 使得对 S 的每个元素 x 有 {y : y R x} 是集合，并且使得 R 满足外延性，则存在一个传递类 C（可能是真类），它在成员关系下的结构同构于 S。这个同构映射 S 的每个元素 x 到 S 的有着 y R x 的元素 y 的像的集合。該引理得名于。
伯恩赛德引理
伯恩赛德引理（），也叫伯恩赛德计数定理（），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（）或轨道计数定理（），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于。 下文中，设 G 是一个有限群，作用在集合 X 上。对每个属于 G 的 g ，令…
亨泽尔引理
亨泽尔引理（）是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模（是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。 定理内容 設f(x)為整係數多項式，k為不少於2的整數，p為質數。若整數r是下面同餘式的根： : f(r) \equiv…
變分法基本引理
在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。 敘述 C^k 代表k阶导数连续（k阶光滑）的函数空间， C^\infty 代表无限光滑的函数空间。 變分法基本引理： 設 f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 若任意 h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 滿足 h(a)=h(b)=0\,\! 成立 : …
Kalman–Yakubovich–Popov引理
Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是及控制理论的結果，其中提到：給定一數\gamma > 0，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若(A,B)具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q :A^T P + P A = -Q Q^T : P B-C = \sqrt{\gamma}Q 存在的充份必要條件是 : \…