在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述
乌雷松引理说明，X 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 A 和 B 是 X 的不交闭子集，就存在一个从 X 到单位区间 [0,1] 的连续函数：
:f:X\to[0,1]，
使得对于所有 a\in A，都有 f(a)=0，而对于所有 b\in B，都有 f(b)=1。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意 A 和 B 以外的元素 x\notin A\cup B 並不需要使得 f(x)\neq 0 或 f(x)\neq 1。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如「吉洪诺夫性质」和「完全豪斯多夫空间」的表述。例如，这个引理的一个推论是：正规的T1空间是吉洪诺夫空间。

证明
函数。]]
对于每一个二进分数 r\in(0,1)，我们构造 X 的一个开子集 U(r)，使得：

A\subseteq U(r)，且对于所有的 r，U(r)\cap B=\varnothing ；

对于 r，U(r) 的閉包位于 U(s) 内。

有了这些集合以后，我们便定义 f(x)=\inf_{x\in U(r)} r 对于所有 x\in X。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 f 是连续的，且具有性质 f(A)\subseteq\{0\} 和 f(B)\subseteq\{1\}。

为了构造集合 U(r)，我们还需要做更多事情：我们构造集合 U(r) 和 V(r)，使得：

• 对于所有的 r，都有 A\subseteq U(r) 且 B\subseteq V(r)；
• 对于所有的 r，U(r) 和 V(r) 都是开集和不交的；
• 对于 r，V(s) 包含在 U(r) 的补集之内，而 V(r) 的补集包含在 U(s) 之内。

由于 V(r) 的补集是闭集，且含有 U(r)，因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于 X 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集 U(1/2) 和 V(1/2)，分别含有 A 和 B。现在假设 n\geq 1，且集合 U(a/2^n) 和 V(a/2^n) 对于 a=1,\ldots,2^n-1 已经构造了。由于 X 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有 V(a/2^n) 的补集和 U((a+1)/2^n) 的补集。称这两个开集为 U((2a+1)/2^{n+1}) 和 V((2a+1)/2^{n+1})，并验证以上的三个条件成立。

参考文献
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