乌雷松度量化定理
乌雷松度量化定理（）给出了一个拓扑空间可度量化的充分条件。一个拓扑空间 (X,\tau) 上，若能定義一个度量 d\colon X \times X \to [0,\infty) 使得拓扑 \tau 由 d 诱导产生，就稱為可度量化。 内容 定理斷言如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基（即第二可數），那么X是可度量化的。 例如，由定理能推論出，每個第二可數的流形都可度量化。 歷史上，安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫在 1926 年證…
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离散空间
在拓扑学和相关数学领域中，离散空间（）指一种特别简单的拓扑空间或相似的结构，在其中点都在特定意义下是相互孤立的。 离散拓扑是可以在集合上给出的最精细的拓扑。离散拓扑中的每个子集都是开集，因此每个单子集也都是开集。 定义 给定集合X: 在X上的离散拓扑是通过X的所有子集是开集（因此也是闭集）而定义的。如果X配备了它的离散拓扑，则X组成了离散拓扑空间； 在X上的离散一致是通过令X × X中的对角集\{(x,x) : x \in X\}的所有…
完备空间
完备空间，或称完备度量空间（）是具有下述性质的一种度量空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 例子 有理数空间不是完备的，因为\sqrt{2}的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限\sqrt{2}不在有理数空间内。 实数空间是完备的 开区间(0,1)不是完备的。序列(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots) 是柯西序列但其不收敛於(0,1)中任何的…
极限 (数学)
极限（）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 概念 数列极限 以数列a_n = \frac{1}{n}为例，直觀上随着n的增大，a_n越来越接近0，于是可以…
邻域
在集合论中，邻域（）指以点a为中心的任何开区间，记作：U(a)。 在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。 定义 在集合论中，有以下几种邻域： :\delta邻域：U(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)=\left\{x \mid |x-a| :去心邻域：U_{0}(a,\delta)=\l…
边界 (拓扑学)
邊界，（），是點集拓樸的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是屬於 S 的闭包但不是 S 的內點的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的邊界點（）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，\partial S。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑…
覆盖 (拓扑学)
在数学中，若 X 是一個集合类 C 中并集的子集，則集合类 C 是集合 X 的覆盖。用符号来说，如果 C = \lbrace U_\alpha\rbrace_{\alpha \in A} 是 X 的子集索引族，则 C 是如下条件下的覆盖（定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁） :X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}。 更一般的说，如果 Y 是…
扎里斯基拓扑
的扎里斯基拓撲中，此多项式的圖像是閉集。]] 在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定義在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及後用作給出一般交换环的素理想集的拓撲結構，稱為環的谱。 有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形论的基本思想，有了它才允许將多個仿射簇黏合，而成一個一般的代數簇，正如流形理论中，流形…
拓撲比較
在拓撲學和其相關的數學領域裡，拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。 定義 {{Math theorem | name = 定義 | math_statement= \mathfrak{T}_1 和 \mathfrak{T}_2 都是 X 的拓扑，若 \mathfrak{T}_1 \subseteq \mathfrak{T}_2 称…
导集
在数学，特别是点集拓扑学中，拓扑空间的子集S的导集（导出集合）是S的所有极限点的集合。它通常記为 S'。 这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年引入的，他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。 导集公理 导集是拓扑学的基础概念之一，可以用来定义拓扑空间。 给定集合X，考慮一個定義在X的冪集\mathcal{P}(X)上的运算d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)，若d满足以下导集公理，則…
實值函數
為單位的质量是一個實值函數的例子。]] 實值函數是值域為实数的函数，也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。 實變數的實值函數（实函数）和實值的是微积分学和实变函数论研究的主要主題。許多函数空间都包括實值函數。 代數結構 令{\mathcal F}(X,{\mathbb R})是從集合到實數\mathbb R所有函數的集合。因為\mathbb R是個域，{\mathcal F}(X,{\mathbb R})可以變成實數上的向量空间…
点集拓扑学
点集拓扑学（），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 定义 拓扑是一个包含一个集合X连同和X的子集族…
度量空间
在數學中，賦距空間（）是具有距離這一個概念的集合，裝配了一個稱為度量的函數，用以表示此集合中任兩個成員間的距離。歷史上是由法国數學家莫里斯·弗雷歇在1906年于其法语著作《》首次使用。 賦距空間中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦…
基 (拓撲學)
在拓扑学的相关领域中，拓撲基() 是某種特殊集合族，它們的任意并集構成了一個拓扑空間的開集。基在拓扑学的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。 動機 拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意并集都是「开」的；嚴謹來說，令 \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) 為集合 X 的一個子集族，希望 \mathcal{F} 內任意一群子集之并集所組成的…
连续函数
连续函数（）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续函数，或者说具有不连续性。非连续函数一定存在间断点。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续…
距离函数
與歐幾里得度量之不同：在曼哈頓度量裡，三條線（紅、黃、藍）對相同的起終點有相同的長度（12）；而在歐幾里得度量裡，綠線的長度為 6 \sqrt{2} \approx 8.49，且是唯一的最短路徑。]] 在数学中，距离函数（distance function）或度量（度規）函数（metric function）是個函數，定义了集合內每一對元素之间的距离。带有度量的集合叫做度量空间。度量能導出集合上的拓扑，但不是所有拓扑都可以由度量生成。当…
完全不连通空间
在拓扑学和相关的数学分支中，完全不连通空间是没有非平凡连通子集的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的，而在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集，在此意义上，完全不连通空间是极大不连通。 完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Qp。 定义 拓扑空间 X 是完全不连通，如果在 X 中的连通分支是单点集合。 例子 下面是完全不连通空间的例子: 离散空间。 有理数空间。 无理数空间。…
贝尔函数
在数学中，贝尔函数（Baire function）是这样一类函数，它们可以通过对连续函数进行超限迭代的逐点极限运算而得到。这些函数由勒内-路易·贝尔于1899年引入。如果一个集合的特征函数是贝尔函数，则称该集合为（Baire set）。 参见 * 處處不連續函數
乌雷松引理
在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。 这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。 正式表述 乌雷松引理说明，X 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 A 和 B 是 X 的不交闭子集，就存在一个从 X 到单位区间 [0,1] 的连续函数： :f:X\to[0,1]， 使得对于所有 a\in A，都有 …
餘有限空間
若給定一個集合X，Y為X的子集，使得差集X-Y為有限集合，則稱Y為X的餘有限集（cofinite）。 類似地，若給定一個集合X，Y為X的子集，使得差集X-Y為可數集，則稱Y為餘可數集（cocountable）。 上述的東西都是一些很自然地推廣，當我們開始從有限集合進入到無限集合時。 餘有限拓撲 餘有限拓撲 餘有限拓撲是收集集合X內所有子集Y與集合X的相對差集為有限集合的集合Y，並將Y定義為開集的拓撲，這樣的拓撲空間稱為餘有限空間。符號上…