乌雷松度量化定理
乌雷松度量化定理（）给出了一个拓扑空间可度量化的充分条件。一个拓扑空间 (X,\tau) 上，若能定義一个度量 d\colon X \times X \to [0,\infty) 使得拓扑 \tau 由 d 诱导产生，就稱為可度量化。 内容 定理斷言如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基（即第二可數），那么X是可度量化的。 例如，由定理能推論出，每個第二可數的流形都可度量化。 歷史上，安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫在 1926 年證…
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共 18 篇文章
卡拉比-丘流形
代数几何与微分几何中，卡拉比-丘流形（Calabi–Yau manifold）是第一陈类为0的紧n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做*卡拉比-丘 n-流形。其是里奇平坦流形，在理论物理学中有应用；特别是在超弦理论中，时空的额外维度有时被猜测为6维卡拉比-丘流形的形式，从中产生了镜像对称等想法。“卡拉比-丘流形”的名称最早见于，得名于猜想这种曲面存在的、，与证明了卡拉比猜想的。 卡拉比-丘流形是复流形，是K3曲面在任意…
构型空间
。]] 数学中，构型空间（configuration space）是与物理学中的状态空间或相空间密切相关的构造，后者将整个系统的状态描述为高维空间的单点。数学中，这用于描述点集在拓扑空间中的位置分布；更具体地，数学构型空间是几个非碰撞粒子的物理位形空间的特殊例子。 定义 对拓扑空间X和正整数n，令X^n为n份X的笛卡儿积，具备积拓扑。X的第n个（有序）构型空间是X中成对不同点的n元组的集合： :\operatorname{Conf}_n…
閉流形
數學上，閉流形是指無邊界的緊緻流形。如討論背景中的流形不可能有邊界，那麼緊緻流形都是閉流形。留意閉流形中的「閉」是指封閉，不是拓撲學概念的閉集。 閉流形從直觀意義來說是「有限」的。按照緊緻性的基本性質，一個閉流形是有限個連通閉流形的不交併。幾何拓撲學的根本目標之一，是瞭解可能出現的閉流形。 閉流形的最簡單例子是圓形，這是一維的閉流形。二維閉流形（閉曲面）的簡單例子有環面和克萊因瓶。一個非例子是直線，雖然是無邊界流形，但不是緊緻。另一個非…
李群
李群（，）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。 粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·…
流形
（球的表面）為二維的流形，由於它能夠由一群二維的圖形來表示。]] 在数学中，流形（）是一類可以局部欧几里得空间化的拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近都类似于欧氏空间。更精确地说，维流形或简称流形（）是指一種拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域同胚于维欧氏空间的某个开集。 直觀地說，流形可以在局部引入坐標，因此即使整體形狀彎曲或較複雜，在足夠小的範圍內仍可像平直空間一樣描述。流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广；欧几里得空间本…
子流形
数学上，流形M的子流形是子集S，且本身也有流形的结构，并且内含映射S → M满足特定属性。根据具体所需的属性，有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。 形式化定义 下面假设所有流形为Cr类微分流形，r ≥ 1，并且所有映射为Cr类可微。 浸入子流形 流形M的浸入子流形是流形N，带有给定浸入f : N → M（f : N → f(N)是一个光滑映射，且其雅可比矩阵处处满秩）。因此，N在M中的像和N存在局域同胚。如果进一步要求N…
拓扑流形
在數學中，拓撲流形（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 \R^n 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。 形式定義 一個 n 維拓撲流形（或簡稱流形）是一個拓撲空間 M ，滿足以下性質： M 是豪斯多夫空间。 M 是第二可數空間。 …
微分流形
光滑流形（），或称-微分流形（）、-可微流形（），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。 歷史 微分幾何（differential geometry）作為一個獨特的學科的出現一般歸功於高斯（Carl Friedr…
位形空间
经典力学中，位形空间（或译组态空间）是一个物理系统可能处于的所有可能状态的空间，可以有外部约束。一个典型系统的位形空间具有流形的结构；因此，它也称为位形流形。 例如，运动在普通欧几里得空间中的单个粒子的位形空间就是R3。对于N个粒子的系统，组态空间就是R3N，或者说它的没有两个位置重叠的子空间。更一般地，可以将在一个流形M中运动的N个粒子的系统的位形空间看作函数空间 MN。 要同时考虑位置和动量，就必须转到位形空间的余切丛中。这个更大的…
统计流形
数学中，统计流形是每点都代表一概率分布的黎曼流形，为信息几何提供了研究对象。费希尔信息度量提供了流形上的度量张量。根据这定义，对数似然函数是可微映射，分数是包含映射。 示例 所有正态分布可视为2维参数空间，参数为期望\mu与方差\sigma^2\ge 0。由费希尔信息矩阵给出的黎曼度量可得统计流形，其几何模型是双曲几何。通过费希尔信息推断参数方程而非从似然函数出发，是绘制流形的一种方法。 统计流形的简单例子是物理学中的正则系综：是1维流…
管状邻域
在数学中，一个光滑流形的子流形的管状邻域是它周围的一个开集，与法丛类似。 管状邻域的想法可以用一个简单的例子说明。考虑平面内一个没有自交的光滑曲线。在曲线的每一个点处作一条与这个曲线垂直的直线。这些直线之间会以一种很复杂的形式相交，除非这条曲线是直的。然而，如果只观察临近曲线的一个狭窄的条带，这些直线在条带内的部分不会相交，并会没有缝隙地覆盖这个条带。这个条带就是一个管状邻域。 一般地，令S为流形M的一个子流形，令N为在M上S的法丛。这…
龐加萊對偶性
數學上，龐加萊對偶定理是流形的同調及上同調群的結構的基本定理，以昂利·龐加萊命名。這定理說若M是n維有向閉流形（即緊緻且無邊界），則M的第k階上同調群同構於M的第(n − k)階同調群。對所有整數k :H^k(M) \cong H_{n-k}(M). 龐加萊對偶定理於任何係數環都成立，只需在流形上相對於係數環而取定向。特別是由於流形於模2都有唯一定向，故於模2時龐加萊對偶定理不需假設定向就成立。 歷史 龐加萊對偶定理的一個形式最初由龐加…
李群胚
在数学中，李群胚（）是满足如下条件的群胚：对象集合 Ob 与态射集合 Mor 都是流形，源与靶运算 :s,t : Mor \to Ob 是淹没，以及所有范畴运算（源与靶，复合，单位映射）都是光滑的。 就像群胚是有许多对象的群，一个李群胚可以想象为“有许多对象的李群推广”。恰如每个李群有一个李代数，每个李群胚有一个李代数胚。 例子 任何李群给出了具有一个对象的李群胚，反之亦然。所有李群胚理论包含李群理论。 给定任何流形 M，有一个李群胚称…
穩定流形
在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。 定义 以下提供迭代函数或離散動態系統情況下的定義。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。 令M是拓扑空间，f\colon X\to X是同胚的。如果p是f的不動點，p的穩定集定義為 : W^s(f,p) =\{q\in X: f^n(q)\to p \mbox{ as } n\to \infty \}. 而p的不稳定集定義為 : W^u(…
莱夫谢茨对偶
在数学上，莱夫谢茨对偶是庞加莱对偶的一种拓展，使得最初的庞加莱对偶可以作用于带边流形 。它最初由莱夫谢茨于1926年提出。 定理（莱夫谢茨对偶） 令 M 是 n 维可定向紧流形，边界为 N ，令 z 为M 的定向所決定的基本类。与 z 的杯积诱导了 M 的（上）同调群和 (M,N) 的相对（上）同调群的配对；由此便可得到 H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M) 与 H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M) 这里…
里奇平坦流形
數學中，里奇平坦流形（Ricci-flat manifold）是里奇張量為零的黎曼流形。在物理學中，它們代表了愛因斯坦方程在任何維數之黎曼流形且宇宙常數為零的類比，其所具有的真空解。里奇平坦流形是愛因斯坦流形的特殊情形，後者的宇宙常數並不需要為零。 里奇平坦流形在一般情形下，被限制屬於和乐群。其中重要的例子包括有卡拉比–丘流形與超凱勒流形。
解析流形
在數學中，一個解析流形（有時也記作 \mathbf{C}^\omega 流形）是一個拓撲流形 M 配上一族坐標鄰域 (U_\alpha, \phi_\alpha)_\alpha，使得坐標轉換 (\phi_\alpha^{-1} \circ \phi_\beta)|_{U_\alpha \cap U_\beta} 都是實解析映射。 例子 仿射空間 \mathbb{R}^n 射影空間 \mathbb{R}P^n 複流形皆是解析流形；反之，關…