四頂點定理
四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出，一條簡單閉曲線的曲率函數，如果不是常值，便有至少四個局部極值。更確切地說，這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。 1909年斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線（即有嚴格正曲率）成立。他的證明用到了以下結果：曲線上一點的曲率是極值，當且僅當在該點的密切圓與曲線有4點切觸。（密切圓與曲線一般只有3點切觸。）1912年阿道夫·克內澤爾證明了定理在一般情況成立。 四…
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絕妙定理
上展示時不可能無扭曲。這幅地圖用的麥卡托投影法，保持角度但不能保持面積。]] 絕妙定理（）是微分幾何中關於曲面的曲率的重要定理，由高斯發現。這定理說曲面的高斯曲率可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定，無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之，高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為： : 高斯曲率在局部等距變換下不變。 用现代几何语言来说：高斯曲率是规范不变量。 定理敍述 考慮在歐氏空間\mathbb R^3中的曲面。兩點間的內蘊…
微分同胚
在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。 定義 對給定的兩個微分流形M, N，若對光滑映射f: M \to N，存在光滑映射g: N \to M使得f \circ g = \mathrm{id}_N、g \circ f = \mathrm{id}_M，則稱f為微分同胚。此時逆映射g是唯一的。 若在微分流形M, N之間存在微分同胚，則稱M與N是微分同胚的…
微分流形
光滑流形（），或称-微分流形（）、-可微流形（），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。 歷史 微分幾何（differential geometry）作為一個獨特的學科的出現一般歸功於高斯（Carl Friedr…
陳-韋伊同態
數學上，陳－韋伊同態（）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形M的曲率聯繫到M的德拉姆上同調群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身和安德烈·韋伊於1940年代建立，是發展示性類理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理。 記\mathbb K為實數域或複數域。設G為實或複李群，有李代數\mathfrak g，又記 :\mathbb K(\mathfrak g^) 為\mathfrak g上的\mathbb K-值多項式的代數。…
反德西特空間
數學與物理學中，一個n維反德西特空間（），標作AdSn為一最大對稱的勞侖茲流形，具有負常數的純量曲率。其為的勞侖茲類比，一如閔考斯基空間與德西特空間分別為歐幾里得空間與橢圓空間的類比。 反德西特空間最知名的應用是在AdS/CFT對偶。「德西特」是以威廉·德西特（1872–1934）為名，他與阿爾伯特·愛因斯坦於1920年代一同研究宇宙中的時空結構。 以廣義相對論的語言來說，反德西特空間為愛因斯坦場方程式的最大對稱真空解，其帶有負的（吸引…
嵌入 (数学)
數學上，嵌入是指一個數學結構經映射包含到另一個結構中。某個物件 X 稱為嵌入到另一個物件 Y 中，是指有一個保持結構的單射f:X\rightarrow Y，這個映射 f 就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在範疇論中稱為態射。 要表達 f:X\rightarrow Y 是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號 f\colon X\hookrightarrow Y。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含…
廣義協變性
理論物理學中，廣義協變性（又稱為微分同胚協變性、廣義不變性）為物理定律的形式在任意微分座標轉換下保持不變。其精神在於座標並非先驗地存在於自然中，而是人們欲描述自然所伴隨的人工產物；也因此不應在基本物理定律中具有實質物理意義。 以廣義協變性表示的物理定律，在所有座標系中皆應保持相同的數學形式。欲達成此目標，通常會以張量場來描述物理量。古典電磁學（非量子的）為其中一項例子。阿爾伯特·愛因斯坦在1905年提出的狹義相對論以及1915年提出的廣…
共變和反變
在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。 反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。 轉換方式 向量：反變轉換 標記法說明：向量 \mathbf{v}\,\! 是向量空間 V\,\! 的元素。向量基底 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..…
阿蒂亞-辛格指標定理
在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博内定理和黎曼－罗赫定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。 符號簡述 X 是緊微分流形。 E 與 F 是 X 上的向量叢。 D: E \to F'是向量叢之間的橢圓偏微分算子。 微分算子的符號 設 D 是帶 k…
微分几何
）上，以及两条发散的超平行线。]] 微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中的一主流研究方向，也是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为了近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几…
扭曲幾何
數學與物理學中，特別是在微分幾何與廣義相對論中，扭曲幾何（warped geometry）是度規張量可寫成如下形式的黎曼流形或勞侖茲流形： :ds^2 \, = g_{ab}(y) dy^a dy^b + f(y) g_{ij}(x) dx^i dx^j 注意到幾何可以分解成y幾何與x幾何的卡氏積（Cartesian product），不過x部份受到扭曲，亦即它的大小尺度受到了一個y座標的純量函數f(y)的調整。基於此理由，扭曲幾何的度…
解析空間
在數學中，解析空間是一類局部上由解析函數定義的局部賦環空間，可理解為解析版本的概形。 定義 固定一個完備域 (F, |\cdot|)（通常取 \mathbb{R} 或 \mathbb{C}）。 令 U = \{(x_1, \cdots, x_n) : \forall i \; |x_i| ，其中 n \in \mathbb{N}，令 \mathcal{O}_U 為 U 上的解析函數層。設 f_1, \ldots, f_m 為解析函數，我…
K3曲面
在數學領域的代數幾何及複流形理論中，K3曲面是一類重要的緊複曲面，在此「曲面」係指複二維，視作實流形則為四維。 K3曲面與二維複環面構成二維的卡拉比-丘流形。複幾何所探討的K3曲面通常不是代數曲面；然而這類曲面首先出現於代數幾何，並以恩斯特·庫默爾、埃里希·卡萊爾與小平邦彥三位姓氏縮寫為 K 的代數幾何學家命名，也與1950年代被命名的K2峰相映成趣。 定義 在不同的脈絡下，K3曲面的定義略有不同。 在複幾何中，K3曲面是具有平凡典範叢…
山邊問題
山邊（Yamabe）問題是微分幾何的問題，得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答，他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被尼爾·特魯丁格發現，而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由尼爾·特魯丁格、蒂埃里·奧班、理查德·舍恩研究，山邊問題在1984年得到完全解決。 問題 給出維數n \ge 3的光滑緊緻流形M及黎曼度量g，是否必然存在共形於g的度量g'，使得g'的數量曲率為常數？換言之，M上是否存在光滑函數f，使得 g' …
解析流形
在數學中，一個解析流形（有時也記作 \mathbf{C}^\omega 流形）是一個拓撲流形 M 配上一族坐標鄰域 (U_\alpha, \phi_\alpha)_\alpha，使得坐標轉換 (\phi_\alpha^{-1} \circ \phi_\beta)|_{U_\alpha \cap U_\beta} 都是實解析映射。 例子 仿射空間 \mathbb{R}^n 射影空間 \mathbb{R}P^n 複流形皆是解析流形；反之，關…