在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。
反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。
轉換方式
向量：反變轉換
- 標記法說明：向量 \mathbf{v}\,\! 是向量空間 V\,\! 的元素。向量基底 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n\,\! 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為x^1, x^2, ... , x^n\,\!。對應這個基底，向量\mathbf{v}\,\!的分量為v^1, v^2, ..., v^n\,\!，即\textstyle \mathbf{v}=\sum_i v^i \mathbf{e}_i。
（註：v^2\,\! 這符號中的上標2不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 v_2\,\! ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。）
向量空間V有另一個基底\bar{\mathbf{e}}_1, ... ,\bar{\mathbf{e}}_n\,\!，其座標系統為\bar{x}^1, ... ,\bar{x}^n\,\!。對應這個基底，\mathbf{v}\,\! 有分量 \bar{v}^1, \bar{v}^2, ..., \bar{v}^n\,\!，即\textstyle \mathbf{v}=\sum_i \bar{v}^i \bar{\mathbf{e}}_i。
對於1...n之間任意整數 \mu\,\! ，我們知道 \bar{v}^{\mu} \,\! 和 v^1, v^2, ..., v^n\,\! 的關係：
: \bar v^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^1} v^1 + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^2} v^2 + ... + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^n } v^n \,\!。
使用愛因斯坦求和約定可寫成：
: \bar{v}^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^i} v^i \,\! 。
余向量：共變轉換
假設對偶空間V^*有兩個基底 {\mathbf{dx}^1, \mathbf{dx}^2, ... , \mathbf{dx}^n}\,\!跟\mathbf{d\bar{x}}^1,
\mathbf{d\bar{x}}^2, ..., \mathbf{d\bar{x}}^n\,\! 。
假設\textstyle\boldsymbol{\omega}\in V^*, \boldsymbol{\omega}=\sum_i \mathbf{\eta}_i\mathbf{dx}^i=\sum_j\bar{\mathbf{\eta}}_jd\bar{\mathbf{x}}^j。
則對於1...n之間其中一個特定的整數 \mu\,\! ，我們知道 \bar{\mathbf{\eta}}_{\mu}\,\! 和 \mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, ..., \mathbf{\eta}_n\,\! 的關係：
: \bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^1 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_1 + \frac{ \partial x^2 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_2 + ... + \frac{ \partial x^n }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_n \,\! 。
或使用愛因斯坦求和約定寫成：
: \bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^i }{ \partial \bar{x}^{\mu} } \mathbf{\eta}_{i} \,\! 。
向量的共變分量和反變分量
在歐幾里得空間 V\,\! 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 \mathbf{w}\,\! ，通過下述方程式，向量 \mathbf{v}\,\! 和線性泛函 \alpha(\mathbf{w})\,\! ，唯一地確定了餘向量 \mathbf{w}\,\! ：
:\alpha(\mathbf{w}) = \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\,\! 。
逆過來，通過上述方程式，線性泛函 \alpha(\mathbf{w})\,\! 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 \mathbf{v}\,\! 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予 V\,\! 的一個基底 \mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\! ，則必存在一個唯一的對偶基底 \mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\! ，滿足
:Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\! ；
其中，\delta^i_j\,\! 是克羅內克函數。
以這兩種基底，任意向量 \mathbf{v}\,\! 可以寫為兩種形式
:\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\! ；
其中，v^i[\mathfrak{f}]\,\! 是向量 \mathbf{v}\,\! 對於基底 \mathfrak{f}\,\! 的反變分量，v_i[\mathfrak{f}]\,\! 是向量 \mathbf{v}\,\! 對於基底 \mathfrak{f}\,\! 的共變分量，
歐幾里得空間
於坐標軸 \mathbf{e}^i\,\! ，可以求得其反變分量 a^i\,\! ；將向量 \mathbf{a}\,\! 投影於坐標曲面的法線 \mathbf{e}_i\,\! ，可以求得其共變分量 a_i\,\! 。]]
在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 \mathbf{e}_1\,\! 、\mathbf{e}_2\,\! 、\mathbf{e}_3\,\! ，就可以計算其對偶基底的基底向量：
: \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\! ；
其中，\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\! 是三個基底向量 \mathbf{e}_1\,\! 、\mathbf{e}_2\,\! 、\mathbf{e}_3\,\! 所形成的平行六面體的體積。
反過來計算，
: \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\! ；
其中，\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\! 是三個基底向量 \mathbf{e}^1\,\! 、\mathbf{e}^2\,\! 、\mathbf{e}^3\,\! 所形成的平行六面體的體積 。
雖然 \mathbf{e}_i\,\! 與 \mathbf{e}^j\,\! 並不相互標準正交，它們相互對偶：
:\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\! 。
這樣，任意向量 \mathbf{a}\,\! 的反變坐標為
: a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\! 。
類似地，共變坐標為
: a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\! 。
這樣， \mathbf{a}\,\! 可以表達為
:\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3 \,\! ，
或者，
:\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\! 。
綜合上述關係式，
: \mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\! 。
向量 \mathbf{a}\,\! 的共變坐標為
:a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\! ；
其中，g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\! 是度規張量。
向量 \mathbf{a}\,\! 的反變坐標為
:a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\! ;
其中，g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\! 是共軛度規張量。
共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。
在相對論上的應用
根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。
狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。
参考来源
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