指數映射 (李群)
在微分幾何中，指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。 定義 設 M 為微分流形，\nabla: TM \to T^ M \otimes TM 為其上的仿射聯絡。給定任一點 p \in M。根據常微分方程的基本理論，存在切空間 T_p M 中的開子集 U \ni p 及光滑映射 \gamma: U \times [0,2] \to M，使得： \gamma(0,-) = p 對每個 v …
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李氏括号
向量場中的李括號，於微分拓樸的數學領域下，稱為Jacobi–李括號或向量場的交換子，是在一微分流形M中作用在任意兩個向量場X 與 Y的算子，此一算子作用後也會形成向量場，以標示。 李括號 在概念上是沿著由X生成的Y微導，常寫為 \mathcal{L}_X Y ("沿著 X 的Y 李微導")。這可以推廣到沿著由X生成的流上任意张量场的李导数。 李括號是個R-雙線性算子，且將所有在流形M 的光滑向量體轉成（無限維）李代數。 李括號在微分幾何…
里奇曲率張量
在微分幾何中，類似度量張量，里奇張量也是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）為名的里奇張量或里奇曲率張量（）。提供了一個數據去描述給定的黎曼度規（）所決定的體積究竟偏離尋常歐幾里得 n- 空間多少的程度。粗略地講，里奇張量是用來描述「體積扭曲」的一個值；也就是說，它指出了n-維流形中給定區域之n-維體積，其和歐幾里得n-空間中與其相當之區域的體…
指數映射 (黎曼幾何)
稱為方位等距投影。]] 黎曼几何中，指數映射\exp_p（）是由某（偽）黎曼流形M切空间T_p M的子集，到M本身的映射。（伪）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个聯絡的指数映射。直觀理解，由起點p出發，以揀選切向量v\in T_p M為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是\exp_p (v)。 定義 設M為微分流形，p為M上一點。利用M上的仿射联络，可以定義過p點的測地線。 設v \in T_…
共變和反變
在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。 反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。 轉換方式 向量：反變轉換 標記法說明：向量 \mathbf{v}\,\! 是向量空間 V\,\! 的元素。向量基底 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..…
爱因斯坦求和约定
在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」 按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為…
里奇平坦流形
數學中，里奇平坦流形（Ricci-flat manifold）是里奇張量為零的黎曼流形。在物理學中，它們代表了愛因斯坦方程在任何維數之黎曼流形且宇宙常數為零的類比，其所具有的真空解。里奇平坦流形是愛因斯坦流形的特殊情形，後者的宇宙常數並不需要為零。 里奇平坦流形在一般情形下，被限制屬於和乐群。其中重要的例子包括有卡拉比–丘流形與超凱勒流形。
邁爾斯定理
邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形M的里奇曲率有下界(n-1)k>0，那麼其直徑不超過\frac \pi {\sqrt k}。 而且，如直徑等於\frac \pi {\sqrt k}，則流形和有常截面曲率k的球面等距。 這結果對流形的萬有覆叠同樣成立，特別地，M和其覆蓋都緊緻，所以覆叠是有限葉的，M 有有限基本群。 參考 S. B. Myers, Riemannian manifolds wi…