在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」
按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，
: y = c_i x^i\,\!
的意思是
: y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3\,\!。
請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，x^1\,\!、x^2\,\!、x^3\,\!分別表示x\,\!坐標、y\,\!坐標、z\,\!坐標，而不是x\,\!、x\,\!的平方、x\,\!的立方。
簡介
愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：
: y = c_1 x^1+c_2x^2+c_3x^3+ \cdots + c_nx^n\,\!。
通常會將這寫為求和公式形式：
: y = \sum_{i=1}^n c_ix^i\,\!。
在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：
: y = c_i x^i \,\,\!
採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。
向量的表示
在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，a^i\,\!。給予一個n\,\!維向量空間\mathbb{V}\,\!和其任意基底\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!（可能不是標準正交基），那麼，向量\mathbf{a}\,\!表示為
:\mathbf{a}= a^i \mathbf{e}_i= \begin{bmatrix}a^1\\a^2\\\vdots\\a^n\end{bmatrix}\,\!。
餘向量的分量是用下標來標明，例如，\alpha_i\,\!。給予\mathbb{V}\,\!的對偶空間\mathbb{V}^*\,\!和其任意基底\boldsymbol{\omega}=(\boldsymbol{\omega}^1,\boldsymbol{\omega}^2,\dots,\boldsymbol{\omega}^n)\,\!（可能不是標準正交基），那麼，餘向量\boldsymbol{\alpha}\,\!表示為
:\boldsymbol{\alpha}= \alpha_i \boldsymbol{\omega}^i= \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}\,\!。
採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從\mathbf{e}\,\!改變為\overline{\mathbf{e}}\,\!，反變向量會變換為
:{\overline{a}}^{i}= \frac{\partial {\overline{x}}^{i}}{\partial x^j} a^j\,\!；
其中，{\overline{a}}^{i}\,\!是改變基底後的向量的分量，{\overline{x}}^{i}\,\!是改變基底後的坐標，x^j\,\!是原先的坐標，
下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從\boldsymbol{\omega}\,\!改變為\overline{\boldsymbol{\omega}}\,\!，共變向量會會變換為
:\overline{\alpha}_i= \frac{\partial x^i}{\partial {\overline{x}}^{j}} \alpha_j\,\!。
一般運算
矩陣A\,\!的第m\,\!橫排，第 n\,\!豎排的元素，以前標記為A_{mn}\,\!；現在改標記為A_n^m\,\!。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：
內積
給予向量\mathbf{a}\,\!和餘向量\boldsymbol{\alpha}\,\!，其向量和餘向量的內積為純量：
:\mathbf{a}\cdot\boldsymbol{\alpha}=a_i \alpha^i\,\!。
向量乘以矩陣
給予矩陣A\,\!和向量\mathbf{a}\,\!，它們的乘積是向量\mathbf{b}\,\!：
:b^i=A^i_j a^j\,\!。
類似地，矩陣A\,\!的轉置矩陣B=A^\mathrm{T}\,\!，其與餘向量\boldsymbol{\alpha}\,\!的乘積是餘向量\boldsymbol{\beta}\,\!：
:\beta_j=B^i_j \alpha_i=\alpha_i B^i_j\,\!。
矩陣乘法
矩陣乘法表示為
:C^i_k = A^i_j \, B^j_k \,\!。
這公式等價於較冗長的普通標記法：
: C_{ik} = (A \, B)_{ik} = \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}\,\!。
跡
給予一個方塊矩陣A^i_j\,\!，總和所有上標與下標相同的元素A^i_i\,\!，可以得到這矩陣的跡t\,\!：
:t=A^i_i\,\!。
外積
M維向量\mathbf{a}\,\!和N維餘向量\boldsymbol{\alpha}\,\!的外積是一個M×N矩陣A\,\!：
:A= \mathbf{a} \, \boldsymbol{\alpha} \,\!。
採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為
:A^i_j = a^i \, \alpha_j\,\!
由於i\,\!和j\,\!代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣A\,\!的標號。
向量的內積
一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量\hat{\mathbf{i}}\,\!、\hat{\mathbf{j}}\,\!及\hat{\mathbf{k}}\,\!來描述三維空間的向量。
:\mathbf{u} = u_x\hat{\mathbf{i}} + u_y\hat{\mathbf{j}} + u_z\hat{\mathbf{k}}\,\!。
把直角坐標系的基底向量\hat{\mathbf{i}}\,\!、\hat{\mathbf{j}}\,\!及\hat{\mathbf{k}}\,\!寫成\hat{\mathbf{e}}_1\,\!、\hat{\mathbf{e}}_2\,\!及\hat{\mathbf{e}}_3\,\!，所以一個向量可以寫成：
:\mathbf{u} = u_1 \hat{\mathbf{e}}_1 + u_2 \hat{\mathbf{e}}_2 + u_3 \hat{\mathbf{e}}_3
= \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i\,\!。
根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：
: \mathbf{u} =u^i \hat{\mathbf{e}}_i = \sum_{i = 1}^3 u^i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!。
由於基底是標準正交基，\mathbf{u}\,\!的每一個分量u^i= u_i \,\!，所以，
: \mathbf{u}= \sum_{i = 1}^3 u_i \hat{\mathbf{e}}_i \,\!。
兩個向量\mathbf{u}\,\!與\mathbf{v}\,\!的内积是
:\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (u^i\hat{\mathbf{e}}_i) \cdot (v^j
\hat{\mathbf{e}}_j) = \left( \sum_{i = 1}^3 u_i\hat{\mathbf{e}}_i \right) \cdot \left(
\sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j \right)=\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j ) \,\!。
由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：
: \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij} \,\!；
其中，\ \delta_{ij}\,\!就是克羅內克函數。當i=j\,\!時，則\delta_{ij}=1\,\!，否則\delta_{ij}=0\,\!。
邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數\ \delta_{ij}\,\!，就可以把方程式中的標號i\,\!轉為j\,\!或者把標號j\,\!轉為i\,\!。所以，
:\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =\sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j\delta_{ij}= \sum_{i = 1}^3 u_i v_i \,\!。
向量的叉積
採用同樣的標準正交基\hat{\mathbf{e}}_1\,\!、\hat{\mathbf{e}}_2\,\!及\hat{\mathbf{e}}_3\,\!，兩個向量\mathbf{u}\,\!與\mathbf{v}\,\!的叉積，以方程式表示為
: \mathbf{u} \times \mathbf{v}= (u^j \hat{\mathbf{e}}_j ) \times (v^k
\hat{\mathbf{e}}_k)= \left( \sum_{j = 1}^3 u_j \hat{\mathbf{e}}_j \right) \times
\left( \sum_{k = 1}^3 v_k \hat{\mathbf{e}}_k \right) \,\!
::=\sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 u_j v_k\epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i
\,\!。
注意到
: \hat{\mathbf{e}}_j \times \hat{\mathbf{e}}_k = \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_i\,\!；
其中，張量\ \epsilon_{ijk}\,\!是列维-奇维塔符号，定義為
所以，
: \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u^2 v^3 - u^3 v^2) \hat{\mathbf{e}}_1 + (u^3 v^1 - u^1 v^3) \hat{\mathbf{e}}_2 + (u^1 v^2 - u^2 v^1) \hat{\mathbf{e}}_3\,\!。
設定 \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}\,\!，那麼，
: w^i \hat{\mathbf{e}}_i= \epsilon^{ijk} u_j v_k\hat{\mathbf{e}}_i \,\!。
所以，
:\ w^i = \epsilon^{ijk} u_j v_k \,\!。
向量的共變分量和反變分量
在歐幾里得空間\mathbb{V}\,\!裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量\mathbf{b}\,\!，通過下述方程式，向量\mathbf{a}\,\!唯一地確定了餘向量\boldsymbol{\alpha}\,\!：
:\boldsymbol{\alpha}(\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\,\!。
逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量\boldsymbol{\alpha} \,\!唯一地確定了向量\mathbf{a}\,\!。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予\mathbb{V}\,\!的一個基底\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!，則必存在一個唯一的對偶基底\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!，滿足
:Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!；
其中，張量\delta^i_j\,\!是克羅內克函數。
以這兩種基底，任意向量\mathbf{a}\,\!可以寫為兩種形式
:\begin{align}
\mathbf{a} &= \sum_i a^i[\mathfrak{f}]X_i = \mathfrak{f}\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i a_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{a}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\! ；
其中，a^i[\mathfrak{f}]\,\!是向量\mathbf{a}\,\!對於基底\mathfrak{f}\,\!的反變分量，a_i[\mathfrak{f}]\,\!是向量\mathbf{v}\,\!對於基底\mathfrak{f}\,\!的共變分量，
歐幾里得空間
於坐標軸\mathbf{e}^i\,\!，可以求得其反變分量a^i\,\!；將向量\mathbf{a}\,\!投影於坐標曲面的法線\mathbf{e}_i\,\!，可以求得其共變分量a_i\,\!。]]
在歐幾里得空間\mathbb{R}^3\,\!裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為\mathbf{e}_1\,\!、\mathbf{e}_2\,\!、\mathbf{e}_3\,\!，就可以計算其對偶基底的基底向量：
: \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!；
其中，\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!是基底向量\mathbf{e}_1\,\!、\mathbf{e}_2\,\!、\mathbf{e}_3\,\!共同形成的平行六面體的體積。
反過來計算，
: \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!；
其中，\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!是基底向量\mathbf{e}^1\,\!、\mathbf{e}^2\,\!、\mathbf{e}^3\,\!共同形成的平行六面體的體積。
雖然\mathbf{e}_i\,\!與\mathbf{e}^j\,\!並不相互標準正交，它們相互對偶：
:\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!。
雖然\mathbf{e}^i\,\!與\mathbf{e}_j\,\!並不相互標準正交，它們相互對偶：
:\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!。
這樣，任意向量\mathbf{a}\,\!的反變分量為
: a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!。
類似地，共變分量為
: a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!。
這樣，\mathbf{a}\,\!可以表示為
:\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3 \,\!，
或者，
:\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!。
綜合上述關係式，
: \mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!。
向量\mathbf{a}\,\!的共變分量為
:a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!；
其中，g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!是度規張量。
向量\mathbf{a}\,\!的反變分量為
:a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\! ;
其中，g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!是共軛度規張量。
共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。
抽象定義
思考維度為n\,\!的向量空間\mathbb{V}\,\!。給予一個可能不是標準正交基的基底(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n)\,\!。那麼，在\mathbb{V}\,\!內的向量\mathbf{v}\,\!，對於這基底，其分量為v^1\,\!、v^2\,\!、...v^n\,\!。以方程式表示，
: \mathbf{v} = v^i\mathbf{e}_i.\,\!。
在這方程式右手邊，標號i\,\!在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從i\,\!等於1\,\!到n\,\!，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。
愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從\mathbb{V}\,\!用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!，\mathbb{V}\,\!與自己的張量積，擁有由形式為\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j\,\!的張量組成的基底。任意在\mathbb{V}\otimes \mathbb{V}\,\!內的張量\mathbf{T}\,\!可以寫為
:\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}\,\!。
向量空間\mathbb{V}\,\!的對偶空間\mathbb{V}^*\,\!擁有基底(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,\dots,\mathbf{e}^n)\,\!，遵守規則
:\mathbf{e}^i \cdot\mathbf{e}_j = \delta^i_j\,\!；
其中， \delta^i_j\,\!是克羅內克函數。
範例
為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。
*思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（）運算後，變為一個純量：
:c=a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3\,\!。
*方程式的右手邊有兩個項目：
:c^\nu=a^{\mu\nu} b_\mu +f^\nu= a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3+f^\nu\,\!。
:由於運算結果與標號\mu\,\!和\nu\,\!無關，可以被其它標號隨意更換，所以，\mu\,\!和\nu\,\!稱為傀標號。
:自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，\nu\,\!是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目a^{\mu\nu} b_\mu\,\!裏，標號\mu\,\!出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱\mu\,\!為求和標號。
*思考在黎曼空間的弧線元素長度ds\,\!：
::ds^2=g_{ij}dx^i dx^j=g_{0j}dx^0 dx^j+g_{1j}dx^1 dx^j+g_{2j}dx^2 dx^j+g_{3j}dx^3 dx^j\,\!。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。
:進一步擴展，
::ds^2=g_{00}dx^0 dx^0+g_{10}dx^1 dx^0+g_{20}dx^2 dx^0+g_{30}dx^3 dx^0\,\!
:::\qquad +g_{01}dx^0 dx^1+g_{11}dx^1 dx^1+g_{21}dx^2 dx^1+g_{31}dx^3 dx^1\,\!
:::\qquad +g_{02}dx^0 dx^2+g_{12}dx^1 dx^2+g_{22}dx^2 dx^2+g_{32}dx^3 dx^2\,\!
:::\qquad +g_{03}dx^0 dx^3+g_{13}dx^1 dx^3+g_{23}dx^2 dx^3+g_{33}dx^3 dx^3\,\!。
:注意到ds^2\,\!是ds\,\!乘以ds\,\!，是(ds)^2\,\!，而不是(s^2)\,\!坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。
參閱
- 狄拉克標記
- 抽象指标记号
- 潘洛斯圖形標記法（）
參考文獻
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外部連結
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