微分形式
微分形式（）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式 f(x) \ dx 是1-形式的一个例子，并且可以在 f 定义域内的一个区间 [a,b] 上进行积分： :\int_a^b f(x)\,dx. 类似地，表达式 f(x,y,z)\ dx \land dy + g(x,y,z)\ dz \land d…
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共 39 篇文章
轨形
拓扑学与几何学中，轨形（orbifold，“有轨的流形”）是对流形的推广。粗略地说，轨形是局部为欧氏空间的有限群商的拓扑空间。 轨形的定义已出现过好几次：1950年代佐武一郎在研究自守形式时将其命名为“V-流形”；1970年代，威廉·瑟斯顿在研究3-流形的几何时，经过与学生的投票将其命名为“轨形”；1980年代，André Haefliger在研究米哈伊尔·格罗莫夫的CAT(k)空间纲领时将其命名为“轨边形”（orbihedron）。 …
球面
球面 （）是三维空间中完全圆形的几何物体，它是圆球的表面（类似于在二维空间中，“圆 ”包围着“圆盘”那样）。 就像在二维空间中的圆的定义一样，球面在数学上定义为三维空间中离给定的点距离相同的点的集合 。 这个距离 是球的半径 ，球（ball）则是由离给定点距离小于 的所有点构成的几何体，而这个给定点就是球心。球的半径和球心也是球面的半径和中心。两端都在球面上的最长线段通过球心，其长度是其半径的两倍；它是球面和球体的直径 。 尽管在数学之…
斯梅爾悖論
差拓扑结构中，球面外翻（Sphere eversion）是指在三维空间中，將球面從內向外翻。值得注意的是，我們有辦法在不割開、撕裂或製造摺痕的前提下，連續且光滑地將球面由內向外翻（有可能產生）。 這對非数学家甚至是瞭解的人來說都十分意外，并可以被视为一种真詭論：乍看下是假，實際上為真。 更準確地说，令 : f\colon S^2\to \R^3 為标准嵌入，則有一个定期同伦的浸入 : f_t\colon S^2\to \R^3 使得ƒ0…
张量场
在数学，物理和工程上，张量场（tensor field）是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场和纯量场的想法的一般化，而向量场可以视为“从点到点变化的向量”。 物理学中场的一种。假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个张量来代表的话，那么这个场就是一个张量场。最常见的张量场有广义相对论的应力能张量场（Stre…
流形
（球的表面）為二維的流形，由於它能夠由一群二維的圖形來表示。]] 在数学中，流形（）是一類可以局部欧几里得空间化的拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近都类似于欧氏空间。更精确地说，维流形或简称流形（）是指一種拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域同胚于维欧氏空间的某个开集。 直觀地說，流形可以在局部引入坐標，因此即使整體形狀彎曲或較複雜，在足夠小的範圍內仍可像平直空間一樣描述。流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广；欧几里得空间本…
反函数定理
数学分析中，反函数定理（）给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的一個充分条件。對滿足該條件的函數，该定理斷言其反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。大致地说，C1函数F在点p可逆，如果它的雅可比矩阵 J_F(p) 可逆。 定理的表述 對單變量函數 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ，反函數定理說…
李氏括号
向量場中的李括號，於微分拓樸的數學領域下，稱為Jacobi–李括號或向量場的交換子，是在一微分流形M中作用在任意兩個向量場X 與 Y的算子，此一算子作用後也會形成向量場，以標示。 李括號 在概念上是沿著由X生成的Y微導，常寫為 \mathcal{L}_X Y ("沿著 X 的Y 李微導")。這可以推廣到沿著由X生成的流上任意张量场的李导数。 李括號是個R-雙線性算子，且將所有在流形M 的光滑向量體轉成（無限維）李代數。 李括號在微分幾何…
唐纳森理论
数学的规范理论中，唐纳森理论是用反自偶瞬子的模空间进行的光滑4-流形的拓扑研究。西蒙·唐纳森 (1983)证明了唐纳森定理，限制了紧单连通4-流形的第二上同调群上可能的二次型。从定理可以导出，存在异R4，光滑h-配边定理在4维失效。因此，唐纳森理论的结果依赖于有微分结构的流形，对大部分拓扑4-流形不成立。 唐纳森理论中的许多定理现在都可用塞伯格-威滕理论更轻松地证明，不过仍留有一些未解决问题，如威滕猜想、阿蒂亚–弗洛尔猜想等。 另见 瞬…
图册
在数学，特别是在拓扑学中，一个图册（）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（）给出（也称为坐标卡，，或局部坐标系，）。以圖冊來定義流形的概念由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。 卡 流形 \mathcal{M} 上的一个卡（或区图）是 \mathcal{M} 的一个开集 U 到 \mathbb{R}^n 中开集 V 的一个同胚映射\varphi: U\to V。 卡的定义与图册的定义密切相关。 定义 流形 \mathca…
莫尔斯理论
在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。 在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量泛函的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 莫尔斯理论在复…
微分同胚
在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。 定義 對給定的兩個微分流形M, N，若對光滑映射f: M \to N，存在光滑映射g: N \to M使得f \circ g = \mathrm{id}_N、g \circ f = \mathrm{id}_M，則稱f為微分同胚。此時逆映射g是唯一的。 若在微分流形M, N之間存在微分同胚，則稱M與N是微分同胚的…
向量場
在向量微积分和物理学中，向量場（）是把空間中的每一点指派到一個向量的映射。物理學中的向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。 定義 設X是Rn裡的一個连通開集，一個向量場就是一個向量函數 : \mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n 我們稱 \mathbf{F}為一個Ck向量場，如果 \mathbf{F}在X上是k次連續可微的。 在X內，一個點x被稱為固定的，若 : \mathbf{F}(\math…
可平行化流形
数学中，一个 n 维光滑流形 M 为可平行化流形 是指具有向量场 :V1, ..., Vn, 使得在 M 中任何一点 P 的切向量 :Vi, P 组成 P 点切空间的一组基。等价地说，切丛是平凡丛，所以相伴的线性标架主丛有一个 M 的整体截面。 选取 M 上这样特定的一组向量场的基称为 M 的一个平行化或绝对平行化。 例子 n=1 的一個例子是圓周：我們取 V1 為單位切向量場，比如都指向逆時針方向。n 維環面也可以平行化，因為可以看作…
配丛
在数学中，带有结构群 G（拓扑群）的纤维丛理论允许产生一个配丛（）的操作，将丛的典型纤维由 F1 变成 F2，两者都是具有群 G 作用的拓扑空间。对具有结构群 G 的纤维丛 F，纤维在两个局部坐标系 Uα 与 Uβ 交集上的转移函数（即上链）由一个 Uα∩Uβ 上 G-值函数 gαβ 给出。我们可以构造一个纤维丛 F′ 有同样的转移函数，但可能具有不同的纤维。 一个例子 一个简单的例子来自莫比乌斯带，这里 G 是 2 阶循环群 \mat…
梅西积
现象的代数推广。]] 代数拓扑中，梅西积（Massey product）是引入的一种高阶上同调运算，推广了上积。梅西积由美国代数拓扑学家William S. Massey提出。 梅西三元积 令a,\ b,\ c为微分分次代数\Gamma的上同调代数H^(\Gamma)的元素。若ab=bc=0，则梅西积\langle a,b,c\rangle是H^n(\Gamma)的子集，其中n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1。 梅西…
陈类
数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。 定义 给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的*第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理: 公理1. 对于任何E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \m…
隐函数
在數學中，隱式方程（）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0的關係，其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0。 隱函数（）是由隱式方程間接定義的函數，比如 y=\sqrt{1-x^2} 是由 x^2+y^2-1=0 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=\cos(x)。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。 例子 反函数 隐函数…
线丛
数学中，线丛（line bundle）表达了空间中在点之间变化的直线的概念。例如，平面中的曲线在每一点都有一条切线，这就确定了一条变化的直线：切丛是组织它们的一种方式。代数拓扑和微分拓扑中，线丛更正式的定义是秩为1的向量丛。 为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛。在拓扑学的应用中，这个向量空间通常是实或复的，而由于实向量空间与复向量空间的拓扑性质不同，两种选择将表现出根本上不同的行为：剔去实数线上的原点，就得到可逆1…
叶状结构
的2维截面]] 微分几何中，叶状结构（）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间\mathbb{R}^n的分解为标准嵌入子空间\mathbb{R}^p的陪集x+\mathbb{R}^p为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（C^r类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的C^r类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则C^0就…