微分形式

微分形式（）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如，一元微积分中的表达式 f(x) \ dx 是1-形式的一个例子，并且可以在 f 定义域内的一个区间 [a,b] 上进行积分：
:\int_a^b f(x)\,dx.
类似地，表达式 f(x,y,z)\ dx \land dy + g(x,y,z)\ dz \land dx + h(x,y,z)\ dy \land dz 是2-形式的一种，它在可定向曲面 S 上有曲面积分:
:\int_S f(x,y,z)\,dx\wedge dy + g(x,y,z)\,dz\wedge dx + h(x,y,z)\,dy\wedge dz.
符号表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式 f(x,y,z)\ dx \land dy \land dz 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，k-形式是一个可以在 k-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是 k 次齐次的。

简介
我们从Rn中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数 f。
当我们在 \mathbb{R}^n 的 m-维子空间 S 上对函数 f 积分时，我们将积分写作：
:\int_S f\,dx_1 \ldots dx_m.

把 dx_1,\cdots,dx_n 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负-dx_1,\cdots,-dx_n叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：
对所有 i, j
:dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i
注意这意味着
:dx_i \wedge dx_i = 0.

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积
:dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k
的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式' k-形式为一个0-形式乘以一个基本的 k-形式，定义 k-形式*为一些单项式 k-形式的和。

楔积可以推广到这些和上：
:(f\,dx_I + g\,dx_J)\wedge(p\,dx_K + q\,dx_L) =
::f \cdot p\,dx_I \wedge dx_K +
f \cdot q\,dx_I \wedge dx_L +
g \cdot p\,dx_J \wedge dx_K +
g \cdot q\,dx_J \wedge dx_L,

等等，这里 dx_i 和类似的项表示 k-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的 k-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个 k-形式；一个全局的 k-形式就是一组坐标领域上的 k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

楔积的性質
若 f, g, w 为任意微分形式，则
:w \wedge (f + g) = w \wedge f + w \wedge g.

若 f 为 k-形式，g 为 l-形式：

:f \wedge g = (-1)^{kl} g \wedge f.

抽象（简明）定义及讨论
在微分几何中，k 阶微分 k-形式是一个流形的余切丛的 k 阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点 p，一个 k-形式给出一个从切空间的 k 阶笛卡儿幂（cartesian power）到 \mathbb{R} 的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分
k阶微分形式可以在 k维链（chain）上积分。若k=0，这就是函数在点上的取值。其他的 k=1,2,3,\cdots对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设
:\omega=\sum a_{i_1,\cdots,i_k}({\mathbf x})\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}
为一微分形式，设 S 为一个我们想在其上积分的集合，其中 S 有参数化形式
:S({\mathbf u})=(x_1({\mathbf u}),\cdots,x_n({\mathbf u}))
\mathbf{u} 属于参数域 D。则[Rudin, 1976]定义 S 上微分形式的积分为

:\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\cdots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}\,d{\mathbf u}

其中

:\frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}
是雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

微分形式的操作
一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用d表示），和李导数。d^2=0，细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

参考
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