微分形式
微分形式（）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式 f(x) \ dx 是1-形式的一个例子，并且可以在 f 定义域内的一个区间 [a,b] 上进行积分： :\int_a^b f(x)\,dx. 类似地，表达式 f(x,y,z)\ dx \land dy + g(x,y,z)\ dz \land d…
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共 14 篇文章
斯托克斯定理
斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被称作广义斯托克斯定理、斯托克斯–嘉当定理（Stokes–Cartan theorem）、旋度定理（Curl Theorem）、开尔文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem），是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士命名。 ℝ³ 上的斯托克斯公式 旋度定理…
外代数
外代数（）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念数学家赫爾曼·格拉斯曼。 数学上，向量空间V的外代數是一个特定有单位的结合代数，其包含了V为其中一个子空间。它记为\land (V)或\land\cdot(V). 而它的乘法，称为楔积或外积，记为\land. 楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在V上是交錯的，也就是： :v\wedge v = 0，對於所有向量v\in V 这表示 :u\wedge v = -…
1-形式
裡，1-形式 α、 β 與它們的和是線性泛函，向量 u、 v與 w也是線性泛函。任意向量穿插過的任意1-形式超平面等於兩者的內積。]] 在线性代数中，1-形式（）是向量空间上的一種线性泛函。1-形式在这种向量空间语境中的使用方式，通常区别於高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函。 在微分几何中，可微流形上的1-形式是余切丛的一个光滑截面。具体说来，流形 M 上的1-形式是M 的切丛的全空间到 R 的一个光滑映射，限制在每个纤维…
霍奇对偶
数学中，霍奇星算子（）或霍奇对偶（）由苏格兰数学家威廉·霍奇（）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。 维数与代数 霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对應下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是 : {n \choose k},\, 后一个空间的维数是 : {n \choose n - k},\, 又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等…
闭形式和恰当形式
在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 \alpha 是微分算子 d 的核（又被称为零空间），即 d\alpha = 0 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) \alpha 是微分算子 d 的像，即存在某个微分形式 \beta 使得 \alpha = d\beta ， \beta 称为关于 \alpha 的一个“本原”。 因为 d^2=0，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可…
复微分形式
数学中，复微分形式是（复）流形上具有复系数的微分形式。 复形式在微分几何中有广泛的应用，在复流形上是十分基本的，是代数几何、凯勒几何、霍奇理论的基础；在非复流形上，也在殆复结构、旋子理论和CR结构的研究中发挥作用。 一般来说，之所以考虑复形式是因为它允许一些理想的分解。例如，复流形上任何复k形式都可唯一分解为所谓(p,\ q)形式之和，它大致是全纯坐标的p微分与其复共轭的q微分的楔。(p,\ q)形式的组合是研究的主要对象，在流形上确定…
庞加莱引理
庞加莱引理是一个数学中的引理， 亨利·庞加莱在1886 年提出了这个引理。 它精确地陈述了封闭微分形式是恰当微分形式的一个充分条件， 而恰当形式必然是封闭的： 在 一个n-维度域 Rn 中的开球上的每个封闭的p-微分形式对于 p 都是恰当的，这里 。 研讨 庞加莱引理还指出，特别是在微积分中， 每个\mathbb{R}^n内的单联通开子集上的闭1-形式都是恰当的。 简单来说，这意味着如果一个微分形式在一个可以收缩到一点的区域内闭合，那么…
内乘
在数学中，内乘（，或译内插積、內縮積）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场，那么 :\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M) 是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 iXω，由性质 :( \iota_X\omega )(X_1,\ldots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\ld…
向量值微分形式
数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 正式定义 设Μ是一个光滑流形，\Epsilon\to\Mu是Μ上一个光滑向量场。我们记一个丛Ε截面的空间为\Gamma(\Epsilon)。一个阶数为ρ的Ε-值微分形式是Ε与\wedge^\rho(\T…
德拉姆上同调
数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。 定义 任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为 :Ωk(M) 外导数 d 给了以下的映射 :d:…
体积形式
数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。 在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。 有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。 许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更…
2-形式
在线性代数中，2-形式（）是双线性形式的另一种叫法，特别是用于非正式讨论中，或者有时暗示这个双线性形式是斜对称的。 在微分几何中，一个2-形式表示 2 阶微分形式。换句话说，一个 2-形式是一个秩 2 斜对称共变张量场。 对一个给定的向量空间，2-形式的空间由基 1-形式的楔积生成。 参见微分形式。 另见 混合张量 独立张量 微分形式 微分几何 * 双线性形式
外微分
数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 定义 一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。 对于一个k-形式ω = ΣI fI dxI在Rn上，其定义如下： ::d{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}…