庞加莱引理是一个数学中的引理， 亨利·庞加莱在1886 年提出了这个引理。
它精确地陈述了封闭微分形式是恰当微分形式的一个充分条件， 而恰当形式必然是封闭的：
在 一个n-维度域 Rn 中的开球上的每个封闭的p-微分形式对于 p 都是恰当的，这里 。
研讨
庞加莱引理还指出，特别是在微积分中， 每个\mathbb{R}^n内的单联通开子集上的闭1-形式都是恰当的。
简单来说，这意味着如果一个微分形式在一个可以收缩到一点的区域内闭合，那么它可以写成另一个微分形式的导数；即如果在单连通区域上有 dα = 0，我们总能找到 α = dβ；因此我们有 d(dβ) = 0，简单地表示为 d2 = 0。这个概念在数学物理特别是电磁学和微分几何中有用，它与边界的边界总是空的这一事实有关；即，如果您有一个表面（2-形式）并且采用其边界（1-形式，曲线），则该边界的边界（0-形式，点）是空集。
在电磁学中，磁场可以使用矢量势来描述，庞加莱引理有助于在“表现良好”的磁场（即，当磁场不是由于单极而产生时）中找到这种势，高斯磁定律指出通过闭合表面的总磁通量始终为零，这意味着磁单极子即使存在也不是孤立的，必须伴随着其他磁荷。
用上同调的语言，庞加莱引理指出一个流形M的可收缩开子集的第k个德拉姆上同调群（例如， M = \mathbb{R}^n ）当k \ge 1时化为零 。具体来说，它意味着德拉姆复形可以产生一个在M上的常数层的消解\mathbb{R}_M。可收缩空间的奇异上同调在正度数上化为零，但庞加莱引理却不能由此得出，因为实际上是流形的奇异上同调可以计算为它的德拉姆上同调，也就是德拉姆定理，依赖于庞加莱引理。但是， 这确实意味着证明开球的庞加莱引理就足够了；然后可以从拓扑考虑推出可收缩流形的版本。
庞加莱引理也是德拉姆上同调的同伦不变性的一个特例；事实上，通过展示同伦不变性或至少是它的一个版本来建立引理是很常见的。
证明
庞加莱引理的一个标准证明使用了同伦不变性公式（参见下面的多个证明和沿纤维积分#示例）。 描述了局部微分形式的同伦算符，而解释了庞加莱引理与马尤厄-嘉当形式的联系。
直接证明
庞加莱引理可以通过沿纤维积分来证明。 （这种方法是通过微积分中的积分构造原始函数的直接概括。）
我们将证明这个引理给开子集U \subset \mathbb{R}^n，U \subset \mathbb{R}^n为星形或锥形[0, 1] ；即，如果x在U中，那么tx在U中对于0 \le t \le 1 。这种情况尤其涵盖了开球的情况，因为可以假设开球以原点为中心而不失一般性。
诀窍是考虑在U \times [0, 1] \subset \mathbb{R}^{n+1} （我们使用t对于坐标[0, 1] ）上的微分形式。首先定义算符\pi_ （称为纤维积分），对于k-*形式U \times [0, 1]：
: \pi_* \left( \sum_{i_1
这里dx^i = dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} ， f_i = f_{i_1, \dots, i_k}且同样地对于dx^j和g_j 。现在，对于\alpha = f \, dt \wedge dx^i ， 因为d \alpha = - \sum_l \frac{\partial f}{\partial x_l} dt \wedge dx_l \wedge dx^i ，利用积分符号 下的微分，我们得到：
: \pi_(d \alpha) = -d(\pi_ \alpha) = \alpha_1 - \alpha_0 - d(\pi_* \alpha)
这里\alpha_0, \alpha_1表示\alpha在超平面t = 0, t = 1上的限制并且它们为零，因为dt为零。如果\alpha = f \, dx^j ，那么类似的计算得出
: \pi_(d \alpha) = \alpha_1 - \alpha_0 - d(\pi_ \alpha) 。
因此，上述公式适用于任何在U \times [0, 1]的k -形式\alpha 。 （该公式是有时称为相对斯托克斯公式的公式的一个特例。）
最后，让h(x, t) = tx然后设定J = \pi_ \circ h^ 。那么，用符号h_t = h(\cdot, t) ，我们得到：对于任何在U上的k -形式\omega ，
: h_1^ \omega - h_0^ \omega = J d \omega + d J \omega,
这个公式称为同伦公式。算子J被称为同伦算子（也叫链同伦）。现在，如果\omega是关闭的， J d \omega = 0 。另一方面， h_1^ \omega = \omega和h_0^ \omega = 0 ，后者是因为在某一点没有非零的更高形式。因此，
: \omega = d J \omega,
证明了庞加莱引理。
事实上对于流形的任何可收缩开子集U，庞加莱引理都成立，可以用同样的方法证明。的确，给定流形的任何可收缩开子集 U ，我们都能找到这样的同伦h_t，h_t包括 h_1 = 恒等式 和 h_0(U) = 一个點。从近似的角度来看这个h_t， ，我们可以认为h_t事实上是光滑的。那么纤维积分\pi_也被定义为\pi : U \times [0, 1] \to U 。由此可见，庞加莱引理在U上是*成立的。
使用李导数证明
神奇的嘉当的李导数公式可用来给出庞加莱引理的简短证明。公式表明，沿矢量场的李导数\xi定义为：
如果 是 上的一个封闭的 1-微分形式，那么必然 。如果 那么必然 而且 .
可以设定
: g(x,y)=\int_a^x p(t,y)\, dt,
所以使得 。那么 必定满足 和 。因为等式的右手边对 x 的偏导数是零，所以它是独立于 x 的。因此得到
: h(x,y)=\int_c^y q(a,s)\, ds - g(a,y)=\int_c^y q(a,s)\, ds,
因此
: f(x,y)=\int_a^x p(t,y)\, dt + \int_c^y q(a,s)\, ds.
相类似地可以得到，如果 那么根据 有 。因此，根据 和
: b(x,y)=\int_a^x r(t,y) \, dt ，
给出一个解
归纳证明
也可以给出庞加莱引理的归纳证明，但不使用同伦论证。让X_m:=I^m ， 这里I = [0, 1] ，为m维坐标立方体。对于微分k形式\omega\in\Omega^k(X_m) ，设其维度为整数mk 。归纳是在形式的余维度上进行的。由于我们在坐标域上工作，可以将关于坐标的偏导数和积分应用于形式本身，通过将对于标准坐标的偏导数和积分应用于形式的系数。
首先让\omega\in\Omega^m(X_m) ，即余维度为0。它可以写成\omega = dx^m\wedge \omega_0,\quad \omega_0 = f(x^1,\dots,x^m)dx^1\wedge\dots\wedge dx^{m-1}所以如果我们定义\theta\in \Omega^{m-1}(X_m)经过\theta = \int_0^{x_m}\omega_0(x^1,\dots,x^{m-1},s)\,ds ，我们有d\theta = dx^m\wedge \partial_m\theta =dx^m\wedge\omega_0 = \omega因此， \theta是\omega的一个原函数 。
现在设 \omega\in\Omega^k(X_m)，这里 0，也就是说，\omega 有 m-k 的余维度，并且让我们假设，任何时候一个封闭的形式有小于 m-k 的余度，形式是适当的。形式 \omega 可以分解为\omega = dx^m\wedge\omega_0 + \omega_1 其中 \omega_0 和 \omega_1均不包含任何 dx^m因子. 定义 \lambda:=\int_0^{x_m}\omega_0(x^1,\dots,x^{m-1},s)\,ds，那么d\lambda = dx^m\wedge\omega_0 + \lambda_1， 其中\lambda_1不包含任何dx^m因子， 因此，因此定义\omega^\prime:=\omega-d\lambda=\omega_1 -\lambda_1，这种形式也是封闭的, 然而它不包含任何 dx^m 因子. 因为这个形式是封闭的， 我们得到0=d\omega^\prime = dx^m\wedge\partial_m\omega^\prime + \omega^{\prime\prime}其中最后一项不包含 dx^m 因子。由于坐标微分的线性无关，这个方程意味着\omega^\prime=\sum_{1\le i_1即形式 \omega^\prime 是 一个只有变量x^1,\dots,x^{m-1}的微分形式，那么可以被解释为 \Omega^{k}(X_{m-1}) 的一个元素，且它的余维度因此是 m-k-1。归纳假设适用于此，所以对于某些 \theta^{\prime}\in\Omega^{k-1}(X_{m-1})\subseteq\Omega^{k-1}(X_m) 有 \omega^\prime = d\theta^{\prime}，那么\omega = d\theta,\quad \theta = \theta^\prime + \lambda对坐标立方体的证明结束。在任意流形上，每个点都有一个与坐标立方体微分同胚的邻域，这个证明还表明在流形上任意闭 k 形式 (对于 0 ) 都是局部适当的。
对德拉姆上同调的启示
根据定义， k阶de Rham 上同调群\operatorname{H}_{dR}^k(U)流形M的开子集U定义为商向量空间
: \operatorname{H}_{dR}^k(U) = \{ \textrm{ closed } \, k\text{-forms} \, \textrm { on } \, U \}/\{ \textrm{ exact } \, k\text{-forms} \, \textrm { on } \, U \}.
因此，庞加莱引理的结论恰恰是，如果U是一个开球，那么\operatorname{H}_{dR}^k(U) = 0对于k \ge 1 。现在，微分形式确定了一个称为 de Rham 复形的上链复形：
: \Omega^* : 0 \to \Omega^0 \overset{d^0}\to \Omega^1 \overset{d^1}\to \cdots \to \Omega^n \to 0
其中n = M的维度， \Omega^k表示微分k形式层；即\Omega^k(U)对于M的每个开子集U ，由U上的k形式组成。然后它产生复形（增强复形）
: 0 \to \mathbb{R}_M \overset{\epsilon}\to \Omega^0 \overset{d^0}\to \Omega^1 \overset{d^1}\to \cdots \to \Omega^n \to 0
其中\mathbb{R}_M是常数层，其值为\mathbb{R} ；即，它是局部常数实值函数层，并且\epsilon包含。
d^0的内核是\mathbb{R}_M ，因为具有零导数的光滑函数是局部常数。此外，层序列是适当的当且仅当它是局部如此。因此，庞加莱引理表明，序列的其余部分也是适当的（因为流形局部微分同胚于\mathbb{R}^n然后每个点都有一个开球作为邻域）用同调代数的语言来说，这意味着德拉姆复合形决定了常数层的分解\mathbb{R}_M 。这就意味着德拉姆定理；即流形的德拉姆上同调与它的奇异上同调相一致（简而言之，因为奇异上同调可以看作是层上同调。）
一旦知道了德拉姆定理，就可以纯拓扑地获得庞加莱引理的结论。例如，它蕴含了可收缩或单连通开集的庞加莱引理的一个版本（参见§单连通情况）。
简单连通情况
庞加莱引理在微积分中是特别针对单连通开放子集 U \subset \mathbb{R}^n 而表述的 。在那种情况下，庞加莱引理指出 U 上的每个封闭 1-形式都是适当的。可以如接下来这样用代数拓扑来看这个版本的引理。有理胡列维茨定理（或者更确切地说是该定理的实类似物）指出， 因为 U 是单连通的，所以 \operatorname{H}_1(U; \mathbb{R}) = 0。因为 \mathbb{R} 是一个域，k阶上同调 \operatorname{H}^k(U; \mathbb{R}) 是 第k个同源性的对偶向量空间 \operatorname{H}_k(U; \mathbb{R}) 。在这里特别地， \operatorname{H}^1(U; \mathbb{R}) = 0. 根据德拉姆定理（由开球的庞加莱引理推出）， \operatorname{H}^1(U; \mathbb{R})与第一个德拉姆上同调群相同（参见§德拉姆上同调的蕴涵）。因此， U上的每个闭 1-形式都是适当的。
简单来说，这意味着如果一个微分形式在一个可以收缩到一个点的区域内闭合，那么它可以写成另一种形式的导数。
紧支撑的庞加莱引理
对于紧支撑微分形式，有一个版本的庞加莱引理：
{{math_theorem
| math_statement = 如果 \omega 是一个封闭的在\mathbb{R}^n上有紧支撑的p-形式，这里 p , 那么必能找到一个在 \mathbb{R}^n 上的有紧支撑的 (p-1)-形式 \psi 使得 d \psi = \omega.
| name = Lemma
}}
沿适当映射的回拉保留紧支撑；因此，与通常的证明相同。
使用庞加莱引理和\bar \partial -庞加莱引理，一个改进的局部庞加莱引理可被证明，并且在上述两个引理都适用的领域上有效。这个引理表明d -封闭的复微分形式实际上是局部的\partial \bar \partial -适当（而不仅仅是d或者\bar \partial -适当，如上述引理所暗示的那样）。
相对庞加莱引理
相对庞加莱引理将庞加莱引理从一个点推广到子流形（或者某些更一般的局部闭子集）。它声明：让 V 为流形 M 的子流形，U 为 V 的管状邻域。如果 \sigma 是 U 上的封闭k-形式，k ≥ 1，且在V上归为零，那么必然存在 这样 (k -1) 形式 \eta 在U上，使得 d \eta = \sigma 和 \eta 在 V 上归为零。
相对庞加莱引理的证明方式与原庞加莱引理的证明方式相同。事实上，由于U是一个管状邻域，因此从U到V存在一个平滑的强变形收缩；即存在一个平滑的同伦h_t : U \to U，从投影U \to V到恒等式， 使得h_t是V上的恒等式。然后我们有U上的同伦公式：
: h_1^ - h_0^ = d J + J d
其中 J 是通过李导数或沿纤维的积分给出的同伦算符。现在，因为 h_0 (U) \subset V所以 h_0^ \sigma = 0 。因为 d \sigma = 0 和 h_1^ \sigma = \sigma ，我们得到 \sigma = d J \sigma ; 取 \eta = J \sigma 。那 \eta 在 V 上消失，这由 J 的定义和事实 h_t(V) \subset V 可知 。 （因此，这个证明实际上通过了，如果 U 不是管状邻域但如果 U 变形缩回到 V 并且相对于 V 同伦。） \square
关于多项式微分形式
在特征为零的情况下，下列庞加莱引理对多项式微分形式成立。
该版本的引理可以用类似微积分的论证来理解。首先要注意的是\ker(d : R \to \Omega^1) = k ，明显地。因此，我们只需要检查p > 0 。让\omega成为一个p -形式。然后我们写
: 0 \to k \to \Omega^0 \overset{d}\to \Omega^1 \overset{d}\to \cdots \to 0
是适当的，其中微分d按通常方式定义；即线性和
: d (f \, d x_{i_i} \wedge \cdots \wedge d x_{i_p}) = \sum_j \frac{\partial f}{d x_j} dx_j \wedge d x_{i_i} \wedge \cdots \wedge d x_{i_p}.
这个版本的引理是由一个类似微积分的论点看到的。 首先要清楚地注意到 \ker(d : R \to \Omega^1) = k。 因此，我们只需要检查 p > 0. 让 \omega 成为一个 p-微分形式。 然后我们写出
: \omega = \omega_0 \wedge dx_1 + \omega_1
其中\omega_i不涉及dx_1 。定义积分x_1通过线性且
: \int x_1^r \, dx_1 = \frac{x_1^{r+1}}{r+1},
它由特征（0）假设明确定义。然后让
: \eta = \int \omega_0 \, dx_1
其中积分应用于每个系数\omega_0 。显然，微积分基本定理在我们的正式设置中成立，因此我们得到：
: d \eta = \omega_0 \wedge \, dx_1 + \sigma
这里 \sigma 不涉及 dx_1. 因此, \omega - d \eta 不涉及 dx_1. \omega - d \eta更换 \omega，我们可以由此认为 \omega 不涉及 dx_1. 从假设 d \omega = 0 很容易地得出\omega的每个系数都的是独立于 x_1的;就是说 \omega 是多项式的对于变量 x_2, \dots, x_n的微分形式. 因此,我们是通过归纳完成了证明. \square
备注：使用同样的证明，当R = k[\![x_1, \dots, x_n]\!]是形式幂级数环或全纯函数芽环。
在奇异空间上
庞加莱引理通常不适用于奇异空间。例如，如果考虑复代数簇（在扎里斯基拓扑中）上的代数微分形式，则该引理对这些微分形式不成立。 解决这个问题的一种方法是使用正则形式，并且由此产生的代数德拉姆上同调可以计算奇异上同调。
同伦不变性对于交上同调不成立；特别是，庞加莱引理对于这种上同调不成立。
Footnote
笔记
参考
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延伸阅读
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