余切丛
微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数；这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。 1-形式 余切丛的光滑截面是微分1-形式。 余切丛的定义 设M×M是M与自己的笛卡尔积。对角映…
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规范丛
数学中，域上n维非奇异代数簇V的规范丛是线丛\,\!\Omega^n = \omega，是V上余切丛\Omega的n次外幂。 复数上，它是全纯余切丛T^V的行列式丛；等价地，它是V上全纯n形式的线丛。这是V上塞雷对偶性的对偶化对象，同样可视作可逆层。 规范类是V上卡蒂埃除子K的除子类，产生了规范丛。规范类是V上线性等价的等价类，其中任何除子都可称作规范除子。 反规范丛是相应的逆丛\omega^{-1}。V的反规范丛是丰沛的，则称V是法诺…
主齐性空间
结构]] 数学上，对于 群 G的主齐性空间，或者叫 *G-旋子*（英文：torsor），是一个集合 X， G在其上自由并可递地作用。也即，X是G的齐性空间，满足每个点的定点子群都是平凡群。 在其它范畴中有类似的定义，其中 G是一拓扑群， X是一拓扑空间，而作用是连续的， *G是一李群， X是一光滑流形而作用是光滑的， *G是一代数群， X是一代数簇而作用是正则的。 定义 若 G是非交换的，则必须根据作用是在左或右分清左或右主齐性空间。本…
向量丛
向量叢(vector bundle)也翻譯成向量-{束}-，是数学，特別是幾何學，上的一種幾何結構，在空間 X（X 可以是拓撲空間、流形或代数簇）的每一點指定(或"黏上")一個向量空间(比如 \mathbb{R}^n)，而这些向量空间“粘起来”又构成一個新的拓扑空间（或流形，或代数簇）。 在 X 之上的向量叢最簡單的例子是，X×\mathbb{R}^n，另一個較複雜的典型的例子是微分流形的切丛(tangent bundle)：对流形的每…
线丛
数学中，线丛（line bundle）表达了空间中在点之间变化的直线的概念。例如，平面中的曲线在每一点都有一条切线，这就确定了一条变化的直线：切丛是组织它们的一种方式。代数拓扑和微分拓扑中，线丛更正式的定义是秩为1的向量丛。 为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛。在拓扑学的应用中，这个向量空间通常是实或复的，而由于实向量空间与复向量空间的拓扑性质不同，两种选择将表现出根本上不同的行为：剔去实数线上的原点，就得到可逆1…
克利福德丛
在数学中， 克利福德(Clifford) 丛是一种代数丛，其纤维具有克利福德代数的结构，并且其局部平凡化遵循代数结构。任何（伪）黎曼流形M都对应有一个自然的 克利福德丛，称为M的 克利福德丛。 这通常被称为 S 3的霍普夫纤维化，是海因茨·霍普夫 (1931) 指出的一种拓扑构造。但霍普夫的程序明确地基于（并附有适当参考）早期的“克利福德平行线”的几何构造。 一般构造 设V是一个（实数或复数）向量空间，且具有对称双线性形式。克利福德代数…
复向量束
在数学中，复向量束是指其纤维为复向量空间的向量束。 任何复向量束都可以通过标量的限制来看作实向量束。相反，任何实向量束E可以复化提升为复向量束 : E \otimes \mathbb{C} ; 其纤维E_x\otimes_\R \C 。 复向量束的基本不变量是陈类。复向量束具有规范定向；具体而言，可以取其欧拉类。 如果复向量束满足以下条件，则该复向量束为全纯向量束： X是一个复流形，并且如果局部平凡化是双全纯的。 复结构 复向量束可以被…
逆丛
数学中，纤维丛的逆丛 是其关于惠特尼和的逆。 设E \rightarrow M为纤维丛。若它与丛E' \rightarrow M的惠特尼和是平凡丛，即若 : E \oplus E' \cong M \times \mathbb{R}^n, 则称丛E是E的逆丛。紧豪斯多夫基上的向量丛都有逆丛。 参考文献
希格斯丛
数学中，希格斯丛是由全纯向量丛E和希格斯场\varphi（在E的自同态丛中取值的全纯1-形式，满足\varphi \wedge \varphi=0）组成的二元组(E,\varphi)。以彼得·希格斯命名了场\varphi，因为它与希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森后来引入了“希格斯丛”这一术语，以及条件\varphi \wedge \varphi=0（在希钦最初在黎曼曲面上的设置中此条件是空的）。 希格斯丛可视作全纯向量丛上平坦全纯仿射联…
标架丛
数学中，标架丛（）是一个与任何向量丛 E 相伴的主丛。F(E) 在一点 x 的纤维是 Ex 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F(E) 上，给出标架丛一个主 GLk(R)-丛结构，这里 k 是 E 的秩。 一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为切标架丛（）。 定义与构造 设 E → X 是拓扑空间 X 上一个 k 阶实向量丛。在点 x ∈ X 的一个标架是向量空间 Ex 的一个有序基。等价地，一个标…
向量值微分形式
数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 正式定义 设Μ是一个光滑流形，\Epsilon\to\Mu是Μ上一个光滑向量场。我们记一个丛Ε截面的空间为\Gamma(\Epsilon)。一个阶数为ρ的Ε-值微分形式是Ε与\wedge^\rho(\T…
伯克霍夫-格罗滕迪克定理
在代数几何学中，伯克霍夫-格罗滕迪克定理（英文：Birkhoff–Grothendieck theorem）刻画了复射影直线上的全纯向量丛。具体而言，所有 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}上的全纯向量丛都是全纯线丛的直和。 正式表述 伯克霍夫-格罗滕迪克定理指出，在{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} 上，任何一个全纯向量丛 \mathcal{E} 总是全纯同构于线丛的直和…
切丛
数学上，一个微分流形M的切丛(tangent bundle) T(M)是一个由M各點上切空間組成的向量丛，其總空間是各切空间的不交并： :T(M) = \coprod_{x\in M}T_x(M). 總空間T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间Tx(M)內的一枚向量。 切丛有自然的2n维微分流形结构如下： 設：\pi\colon T(M) \to M\, 為自然的投影映射，将(x,v)映射到基点x； 若M是个n…
旋量丛
在数学与物理学中，旋量是与物理自旋理论以及数学中克利福德代数密切相关的某种几何实体，在某种意义上是一种扭曲的张量。从几何观点来看，所有旋量构成旋量丛（）。 给定一个可微流形 M，配有一个符号为 (p,q) 的度量，M 上一个旋量丛是 M 上向量丛使其纤维是 :Spin(p,q) 的一个旋量表示。这里 Spin(p,q) 是特殊正交群 SO(p,q) 单位分支的二重覆盖。 旋量丛由向量丛 V 上继承一个联络（参见自旋联络）。 当 :p +…
博赫纳–小平–中野恒等式
在数学中，博赫纳–小平–中野恒等式是埃尔米特流形上Weitzenböck恒等式的类比，它给出埃尔米特流形上向量丛的反全纯拉普拉斯算子的表达式，根据其复共轭，丛的曲率和流形度规的挠率。它以所罗门·博赫纳，小平邦彦和中野茂男的名字命名。 参考文献 *
法丛
在数学领域之微分几何中，法丛（）是一个特殊的向量丛，得自一个嵌入或浸入，是切丛的补。 定义 黎曼流形 设(M,g)是一个黎曼流形，S \subset M是一个黎曼子流形。对给定的p \in S，一个向量n \in \mathrm{T}_p M定义为S的法向量，如果g(n,v)=0对所有v\in \mathrm{T}_p S（从而n 正交于\mathrm{T}_p S）。这样的n的集合\mathrm{N}_p S称之为S在p的法空间。 就…
全纯向量丛
数学上，全纯向量丛是指一个在复流形X上的复向量丛，其全空间E为一复流形，丛投影\pi:E\to X是全纯的。重要的全纯向量丛包括复流形上的全纯切丛，以及其对偶全纯余切丛。一阶全纯向量丛也称作全纯线丛。 全纯向量丛的平凡化映射 :\phi_U\colon \pi^{-1}(U) \to U\times\mathbb C^k 为双全纯映射。即等价于转换函数 :t_{UV}\colon U\cap V \to \mathrm{GL}_k\ma…
伴随丛
在数学中，伴随丛（）是一个自然相配于任何主丛的向量丛。伴随丛的纤维带有李代数结构使得伴随丛成为一个代数丛。伴随丛在联络理论以及规范理论中都有重要的应用。 形式定义 设 G 是一个李群，李代数为 \mathfrak g，并设 P 是光滑流形 M 上一个主 G 丛。令 :\mathrm{Ad}: G\to\mathrm{Aut}(\mathfrak g)\sub\mathrm{GL}(\mathfrak g) 是 G 的伴随表示。P 的伴随…
联络 (向量丛)
在数学中，纤维丛上一个联络是一个定义丛上平行移动的装置；即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是向量丛，则平行移动的概念要求线性。这样的联络等价于一个共变导数，共变导数是一个能对截面关于底流形的切方向求微分的算子。联络在这个意义下，对任意向量丛，推广了光滑流形切丛的线性联络概念，经常叫做线性联络。 向量丛上的联络也经常称为科斯居尔联络，以让-路易·科斯居尔命名，他给出了描述这个联络的一个代数框架 。 形式定义 设 E → M 是光滑…