哈尔测度
数学分析中，哈尔测度是赋予之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。 预备知识 对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集： 左陪集: :: g S = …
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共 11 篇文章
彼得-魏尔定理
彼得-魏尔定理（）是调和分析和群表示论中的一组重要定理，于1927年由赫尔曼·魏尔和他的学生证明。该定理刻画了紧群不可约表示的完备性，可以视作有限群表示理论中弗罗贝尼乌斯定理的推广。定理分为三部分：第一部分指出，紧群G的所有有限维不可约的，在G上所有复值连续群函数构成、配备了的空间中稠密。第二部分指出，G在任何一个可分希尔伯特空间上的酉表示都完全可约。第三部分断言，G的所有有限维不可约酉表示的矩阵元构成了G上平方可积的复值函数空间的一组…
拓撲向量空間
拓撲向量空間是泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。 拓撲向量空間主要都是函數空間，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。 希爾伯特空間及巴拿赫空間是典型的例子。 定義 獲得的。]] 一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K （通常取實數或複數域）上的向量空間，其上帶有拓撲結構使得向量加法 X × X → X 與純量乘法 K × X → X 為連續映射。 註：某些作者也要求 X 是豪斯多夫空間，更…
单参数群
在数学中，一个单参数群（）或称单参数子群（）通常表示从实数 R（作为加法群）到另一个拓扑群 G 的一个连续群同态 :φ : R → G. 这意味着它严格说来其实不是一个群；如果 φ 是单射，则其像 φ(R) 是 G 的一个同构于加法群 R 的子群。这就是说，我们只知道 :φ (s + t) = φ(s)φ(t) 其中 s, t 是群在 G 中的参数。我们可能有 :φ(s) = e, G 中的单位元， 对某个 s ≠ 0 成立。譬如 G …
主齐性空间
结构]] 数学上，对于 群 G的主齐性空间，或者叫 *G-旋子*（英文：torsor），是一个集合 X， G在其上自由并可递地作用。也即，X是G的齐性空间，满足每个点的定点子群都是平凡群。 在其它范畴中有类似的定义，其中 G是一拓扑群， X是一拓扑空间，而作用是连续的， *G是一李群， X是一光滑流形而作用是光滑的， *G是一代数群， X是一代数簇而作用是正则的。 定义 若 G是非交换的，则必须根据作用是在左或右分清左或右主齐性空间。本…
拓樸交換群
在數學上，拓樸交換群（）是一類同時是拓樸群和交換群的群；換句話說，一個拓樸群同時是群和拓樸空間，在其中這群的運算是連續的，而其二元運算則滿足交換律。 適用於拓樸群也可用於拓樸交換群上，但拓樸交換群上可做的更多。特別地，局部緊拓樸交換群大量出現在調和分析的研究中。 參見 ，緊緻連通的拓樸交換群 拓樸域 拓樸群 拓樸模 拓樸環 拓樸半群 拓樸向量空間 參考資料 Fourier analysis on Groups, by Walter Ru…
非交换调和分析
数学中，非交换调和分析将傅里叶分析的结果推广到非交换拓扑群。由于局部紧阿贝尔群有很好理解的理论——庞特里亚金对偶性，其中包括傅里叶级数和傅里叶变换的基本结构，因此非交换调和分析的主要任务一般认为是将其推广到所有局部紧群G。1920年代提出彼得-魏尔定理后，紧群情形被定性地理解为与有限群及其特征标理论大致相似。 因此，有局部紧、非紧、非交换的群G的情形。有趣的例子如很多李群和P进数域上的代数群。这些例子在数学物理和当代数论（尤其是自守表示…
局部紧阿贝尔群
在调和分析、拓扑学与数论等数学领域中，局部紧阿贝尔群是具有特别方便拓扑的阿贝尔群。例如整数群（具有离散拓扑）、圆或实数（都具有通常拓扑）都是局部紧阿贝尔群。 定义与例子 有拓扑空间，若其底拓扑空间是局部紧豪斯多夫空间，则称拓扑空间是局部紧的；若底群的阿贝尔群，则称拓扑群是阿贝尔的。 局部紧阿贝尔群的例子有： \R^n，其中n是正整数，向量加法为群作用。 正实数\R^+，乘法为群作用。由指数映射与(\R, +)同构。 任意具有离散拓扑的有…
齐性空间
在数学上，特别是李群、代数群与拓扑群的理论中，群G的齐性空间（）是指一个非空流形或拓扑空间X，G传递地作用在X上，G中的元素称之为X的对称。一个特例是空间X的自同构群，这里自同构群可以是等距同构群、微分同胚群或是同胚群。在这些例子中，如果在直观上将X的任意局部视作相同，则X是齐性的。像是等距同构（刚体几何）、微分同胚（微分几何）或是同胚（拓扑）。一些作者要求G的作用是有效的（或忠实），不过本文并不要求这样。从而X上存在可以想象为保持X上…
极大紧子群
数学中，一个拓扑群 G 的极大紧子群 K 是一个在子空间拓扑下是紧空间的子群，且是这些子群中的极大元。 一个一般李群不一定有极大紧子群，但半单李群却一定存在，而且他们在理论中有重要地位。极大紧子群一般不是惟一的，但在相差一个共轭的意义下是惟一的——他们是本质惟一的。 例子 一个好例子是正交群 O(2)，是一般线性群 GL(2,R) 的极大紧子群。一个相关的例子是循环群 SO(2)，是SL(2, R)的极大紧子群。显然 SO(2) 在 G…
拓扑群
在數學中，拓撲群是群 G 和與之一起的 G 上的拓撲，使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。 形式定義 拓撲群 G 是拓撲空間和群使得群運算 :G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy 和 :G\to G : x \mapsto x^{-1} 是連續函數。這里的 G × G 被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。 儘管我們這里沒有做其他要求，很多作者要求在 G …