在调和分析、拓扑学与数论等数学领域中，局部紧阿贝尔群是具有特别方便拓扑的阿贝尔群。例如整数群（具有离散拓扑）、圆或实数（都具有通常拓扑）都是局部紧阿贝尔群。
定义与例子
有拓扑空间，若其底拓扑空间是局部紧豪斯多夫空间，则称拓扑空间是局部紧的；若底群的阿贝尔群，则称拓扑群是阿贝尔的。
局部紧阿贝尔群的例子有：
- \R^n，其中n是正整数，向量加法为群作用。
- 正实数\R^+，乘法为群作用。由指数映射与(\R, +)同构。
- 任意具有离散拓扑的有限阿贝尔群。由有限生成阿貝爾群的基本定理，所有此种群都是循环群之积。
- 具有离散拓扑的整数\Z，加法为群作用。
- 圆群，对环面记作\mathbb{T}。这是模为1的复数群。\mathbb{T}作为拓扑群同构于商群\R/\Z。
- P进数域\Q_p，加法为群作用，具有通常的P进拓扑。
对偶群
若G的局部紧阿贝尔群，则G的特征是G到圆群\mathbb{T}的连续群同态。G上的特征集可组成局部紧阿贝尔群，称作G的对偶群，记作\widehat G；其群作用是特征的逐点乘，特征的逆是其复共轭，特征空间的拓扑是紧集上的一致收敛拓扑（即紧致开拓扑，将\widehat{G}视作G到\mathbb{T}的所有连续函数空间的子集）。这种拓扑一般来说是不可度量的，但若G是可分局部紧阿贝尔群，则其对偶群可度量。
这类似于线性代数中的对偶空间：正如对域K上的向量空间V，对偶空间是\mathrm{Hom}(V, K)，对偶群\mathrm{Hom}(G, \mathbb{T})也如此。更抽象地说，它们都是可表函子，分别表为*K、\mathbb{T}。
同构于对偶群的群（作为拓扑群）自对偶。实数与有限循环群是自对偶的，而实数群与对偶群并不自然同构，应视作两个不同的群。
对偶群的例子
\Z的对偶群与圆群\mathbb{T}同构。加法下的整数\Z的有限循环群上的特征由其在生成子1上的值决定。因此，对\Z上的特征\chi，\chi(n) = \chi(1)^n。此外，这个公式为\mathbb{T}中任意选择的\chi(1)定义了一个特征。这种情况下，紧集上的一致收敛拓扑就是逐点收敛拓扑，这是从复数继承来的圆群拓扑。
\mathbb{T}的对偶规范同构于\Z。事实上，\mathbb{T}上的特征具有形式z\mapsto z^n，其中n是整数。由于\mathbb{T}是紧的，所以其对偶群的拓扑是一致收敛拓扑，也就是离散拓扑。
实数群\R是自对偶的，其上的特征具有形式r\mapsto e^{i\theta r}，其中\theta是实数。有了这些对偶性，下面介绍的傅里叶变换就与\R上的经典傅里叶变换重合了。
同样，p-进数群\Q_p是自对偶的（实际上，\Q_p的任意有限扩张也是自对偶的）。由此可见，赋值向量环是自对偶的。
庞特里亚金对偶性
庞特里亚金对偶性断言，函子
:G \mapsto \hat G
在局部紧阿贝尔群范畴（具有连续态射）的对偶范畴与它本身之间诱导出一个等价关系：
:LCA^{op} \stackrel \cong \longrightarrow LCA.
范畴论性质
证明，局部紧阿贝尔群范畴LCA大致可以度量整数和实数之间的差别。更确切地说，局部紧阿贝尔群范畴的代数K-理论谱，以及Z、R的都位于同一个同伦纤维序列中：
:K(\mathbf Z) \to K(\mathbf R) \to K(LCA).
参考文献
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