豪斯多夫维数
豪斯多夫维数又称作豪斯多夫-贝塞科维奇维数（）或分形维数，它是由德國数学家费利克斯·豪斯多夫于1918年引入的。通过豪斯多夫维数可以定義任意度量空間的子集之維數，包括像是分形（）等复杂的集合。对于简单的几何形狀比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维数等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维数不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数。 通俗的描述 从直觉上来说一个集合的维数是描述这个集合中…
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共 57 篇文章
哈尔测度
数学分析中，哈尔测度是赋予之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。 这个测度由匈牙利数学家哈爾·阿爾弗雷德于1933年发明 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。 预备知识 对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集： 左陪集: :: g S = …
传输理论
传输理论（、），又称为运输理论，是数学、经济学等学科中研究最优运输和资源配置的理论。该问题最早由法国数学家加斯帕尔·蒙日于1781年提出。 1920年代，A·N·托尔斯泰是最早运用数学方法研究传输问题的学者之一。1930年，他在苏联国家交通部编纂的《运输规划》第一卷中发表了题为《寻找太空货物运输的最小千公里方法》的论文。 第二次世界大战期间，苏联数学家、经济学家列昂尼德·坎托罗维奇在该领域取得了重要进展。因此，这一问题有时也被称为蒙日-…
黎曼测度
黎曼测度可指： 黎曼度量（），描述黎曼流形上距離、體積、角度等結構的張量。 黎曼流形的測度（），依照黎曼度量導出的測度，用於計算體積及函數的積分。與前者的關係見。 *定義實數集\mathbb R某類子集大小的一種方法：考慮\mathbb R上的區間（包括无穷区间），關於有限併及有限差封閉而成的环R（它不是\sigma环）。對於A \in R，定义\mu(A)為组成A的各区间的长度之和，则\mu稱為R上的黎曼测度。 參考文獻
绝对连续
在数学中，绝对连续是一个光滑性质，比连续和一致连续都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。 函数的绝对连续 定义 设(X, d)为一个度量空间，并设I为实直线R上的区间。函数f : I → X在I上绝对连续，如果对于每一个正数\varepsilon，都存在一个正数\delta，使得当I的两两不交的子区间[xk, yk]的（有限或无限）序列满足 :\sum_{k} |y_k - x_k| 时，就有： :\sum_{k} d \l…
测度空间
测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面積概念的推廣，由一个基本的集合 X 以及基于这集合的某些子集合所构成的一個新的集合 \mathcal A，這新集合會滿足 σ-代数的性質，直覺的講，對 \mathcal A 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或機率等，其真正意義要看所在空間 X 來決定。和一個定義在 \mathcal A 上滿足某些特別性質的(非負)函數 \mu，也就是测度，測度空間就由這三部分，(X, \math…
勒贝格测度
在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 的测度记作 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ，但是即使如此，在假设选择公理成立时， 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公…
弱可测函数
在数学中，特别是泛函分析中，如果一个在巴拿赫空间中取值的函数与其所在空间的对偶空间中的任意元素的复合是一般（强）意义下的可测函数，则该函数是弱可测函数。 对于可分空间，弱可测性和强可测性的概念是一致的。 定义 (X,Σ)是一个可测空间，并且B是域K（通常是实数空间R或复数空间C）上的巴拿赫空间，如果函数f:X→B满足如下条件，对于任意连续线性泛函g:B→K，函数 : g \circ f \colon X \to \mathbf{K} \…
實值函數
為單位的质量是一個實值函數的例子。]] 實值函數是值域為实数的函数，也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。 實變數的實值函數（实函数）和實值的是微积分学和实变函数论研究的主要主題。許多函数空间都包括實值函數。 代數結構 令{\mathcal F}(X,{\mathbb R})是從集合到實數\mathbb R所有函數的集合。因為\mathbb R是個域，{\mathcal F}(X,{\mathbb R})可以變成實數上的向量空间…
测度
，如果集合A是集合B的子集，那么集合A的测度小于或等于集合B的测度。此外空集的测度为0。例如体积（物体所占据的空间的大小）就是一种测度。]] 在数学中，测度（measure）是一種將几何空間的度量（长度、面积、体积）和其他共识（普通观念、共有概念，如大小、质量和事件的概率）廣義化和形式化後產生的概念（concept）。 在信息技术、办公机械中，测度是通过执行一次测量，以测量结果来赋值（赋予对象属性）的变量（数或类别）。 传统的黎曼积分是…
巴拿赫-塔斯基定理
巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。 巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意…
富比尼定理
富比尼定理（）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。 定理 若 :\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)， 其中A和B都是σ-有…
豪斯多夫悖論
豪斯多夫悖論是數學上一個以費利克斯·豪斯多夫命名的悖論，這悖論牽涉了{ \ S^2 }上的三維球{ R^3}。這悖論指出，若將特定的可數子集從{ \ S^2 }上移除的話，那剩下的部分可分成三個不相交的集合A、B與{ C }，其中A、B、{ C }與{ B \cup C }都彼此全等；特別地，這指出在{ \ S^2 }上，不存在定義於所有子集上且具有有限可加性的測度使得所有全等子集的測度彼此相等，而這是因為若有這樣的測度的話，那麼{ B…
局部可积函数
在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。 常见定义 设\Omega为欧几里得空间\mathbb{R}^n中的一个开集。设\scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C}是一个勒贝格可测函数。如果函数f在任意紧集K\subset \Omega上的勒贝格积分都存在： : \int_K | f| \mathrm{d}x 那么就称函数f为一个\Omega-局部可积的函数。所有在\Omega上局部可积的函…
逐點收斂
[[File:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|函数序列 fn(x) = (sin x)ⁿ 在区间 [0, π] 上的逐点收敛。图中连续的绿色曲线序列逐点趋于不连续的红色极限函数（在 π/2 处值为 1，其余为 0）。这证明了逐点收敛不一定保持函数的连续性。]] 逐點收歛也稱點態收斂（，或称简单收敛），是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分…
勒貝格積分
勒貝格积分（）是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是函数图像与x轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到更广的函数（可测函数），并且也扩展了可以进行积分运算的集合（可测空间）。 最早的积分运算对于非负值的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积，但这过程需要函数足够规则。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生，很快就产生了对更加…
可预测过程
可预测过程是数学中随机过程里的一个概念。如果一个随机过程在某个时刻的取值在这个时刻之前就可能可以知道（可测），那么就称这个过程是可预测过程。 定义 设有 概率空间(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})； 测度空间(S, \mathcal{A})，状态空间； 有序的指标集T： 可以是非负实数集[0, \infty)、有限时间集[0, T_0]或离散时间\mathbb{N}； σ-代数\mathcal{F}上的参…
本质上确界和本质下确界
本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关，但前者与测度论的关联性更大，其中通常要涉及不是处处都成立的命题，而是几乎处处，也就是说，除了在测度为零的集合以外。 设(X, Σ, μ)为测度空间，并设f : X → R为定义在X上的实函数，它并不一定是可测的。实数a称为f的上确界，如果对于X内的所有x，都有f(x) ≤ a，也就是说，集合 :\{x\in X: f(x)>a\} 是空集。而a称为本质上确界，如果集合 :\{x\in X…
Σ-有限测度
σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 (X,\,\Sigma,\,\mu) 來說，若测度 \mu 其對任意 A \in \Sigma 的取值 \mu(A) 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。 若測度空間的母集合 X 可表示为 \Sigma 的某有限可測集合序列 \{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N} 的并集： : X = \bigcup_{n\in\N} E_n 則么就称这个测度为有限测度…
测度收敛
测度收敛是测度论中的一个基本概念，在概率论、泛函分析及数理统计等领域中具有重要应用。设在某一可测空间上给定一个测度 \mu，并考虑一列定义在同一空间上的测度 \mu_n 。随着 n 的增大， \mu_n 的性质与 \mu 越来越相似。 “越来越相似”和一般的序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 \varepsilon>0 ，只要 N 充分大， 对于任何 n \geqslant N ， \mu_n 和 \mu 之间的“差别”小于 \…