富比尼定理（）是数学分析中有关重积分的一个定理，由数学家圭多·富比尼在1907年提出。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。「托內利定理」由数学家列奧尼達·托內利在1909年提出，与富比尼定理相似，但是是应用于非负函数而不是可积函数。
定理
若
:\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)，
其中A和B都是σ-有限测度空间，A\times B是A和B的积可测空间，f: A \times B \mapsto \mathbb{C}是可测函数，那么
:\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)，
前二者是在两个测度空间上的逐次积分，但积分次序不同；第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。
特别地，如果f(x,y)=h(x)g(y)，则
:\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)。
如果条件中绝对值积分值不是有限，那么上述两个逐次积分的值可能不同。
非负函数的Tonelli定理
托內利定理延续了富比尼定理。托內利定理的结论与富比尼定理一样，但是条件从|f|积分有限改为了f非负。
应用
富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础：
:\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
參考文獻
评论 (0)