劉維爾函數 (微積分)
在微积分学领域，刘维尔函数（）是一类函数，包括所有初等函数以及它们的任意次积分，也可以递归地定义为： 初等函数是刘维尔函数 如果一个函数是刘维尔函数，那么它的积分也是 所以，刘维尔函数对于算术运算，复合，微分，积分封闭，但是对求极限和无穷求和不封闭。 刘维尔函数是由约瑟夫·刘维尔在1833年至1841年的一系列論文中所提出的。 示例 所有的初等函数 误差函数 菲涅耳積分，对数积分，指数积分 所有刘维尔函数都是代数微分方程的解，但反之则不…
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共 29 篇文章
可忽略函数
在数学中，可忽略函数（）是指 :对于一个函数 \mu(x):\mathbb{N}{\rightarrow}\mathbb{R} ，如果对于任意一个正多项式poly()，存在一个N_c>0，使得对于所有的x>N_c ::\mu(x) 那么这个函数便是可忽略的（negligible）。通常我们把“存在一个N_c>0，使得对于所有的x>N_c”简化为“对于所有足够大的x”。 历史 可忽略函数这个概念是和数学分析的形式化模型相关的。第一个比较严…
双射
數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，且對每一在X內的x，存在唯一一個在Y內的y与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则f是雙射的。即，同時為單射和滿射。 例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname{succ}，其將每一個整數x連結至整數\operatorname{succ}(x)=x+1，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數\oper…
初等函数
初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。 此外，部…
凸函数
函數(x, y) \mapsto x^2 + xy + y^2的圖像，形如開口向上的碗。]] 凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數f為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數f在整個定義域上非負。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯\cup，而相反，凹函数則形如開口向下的帽\cap。 在最优化研究中，凸函數的最…
齐次函数
在數學中，齐次函数（）是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。 正式定义 假设 f: V \rarr W 是域 F 内的两个向量空间之间的函数。 我们说 f 是“ k 次齐次函数”，如果对于所有非零的 \alpha \isin F 和 \mathbf{v} \isin V ，都有： : f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) 即是，在歐幾里…
基函數
在數學中，基函數是函數空間中特定基底的元素。 函數空間中的每個連續函數可以表示為基函數的線性組合，就像向量空間中的每個向量可以表示為基向量的線性組合一樣。 在數值分析和逼近理論中，基函數也稱為混合函數，原因是它們用在插值上：把基函數混合起來可作為插值函數（“混合”的方式是根據基函數對數據點的評估）。 例子 多項式基底 多項式基底是將多項式方程式分解為線性函數。 傅立葉基底 正弦和餘弦形成平方可積函數的（正交）Schauder 基。 作為…
支撑函数
在数学领域内，\mathbb{R}^n的一个非空的闭凸子集A的支撑函数h_A，描述了从A的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。h_A是\mathbb{R}^n上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地，h_A作为集合A上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概…
圆形函数
拓扑学和微积分中，圆形函数（round function）是流形M上的标量函数M\to{\mathbb{R}}，其临界点形成连通分量，每个都同胚于圆S^1，因此也叫临界环。圆形函数是莫尔斯–博特函数的特例。 例子 例如，令M为环面； :K=(0,2\pi)\times(0,2\pi).\, 则知映射X\colon K\to \mathbb{R}^3 :X(\theta,\phi)=((2+\cos\theta)\cos\phi,(2+\…
實值函數
為單位的质量是一個實值函數的例子。]] 實值函數是值域為实数的函数，也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。 實變數的實值函數（实函数）和實值的是微积分学和实变函数论研究的主要主題。許多函数空间都包括實值函數。 代數結構 令{\mathcal F}(X,{\mathbb R})是從集合到實數\mathbb R所有函數的集合。因為\mathbb R是個域，{\mathcal F}(X,{\mathbb R})可以變成實數上的向量空间…
處處不連續函數
處處不連續函數是一數學名詞，是指在其定義域上的每一點都不連續的函數。若f(x)為一函數，定義域和值域都是實數，若針對每一個x，都存在\epsilon>0，使得針對每一個\delta>0，都可以找到y，使下式成立，則f(x)為處處不連續函數： 0 換句話說，不論距固定點多近，都有距固定點更近的點使函數的值偏離固定點對應的值。例如狄利克雷函数就是一個處處不連續函數。 處處不連續函數的性質不是函數典型的現象，有病態特性。 若將定義中的絕對值改…
窗函数
窗函数（）在信号处理中是指一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。 任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在頻譜分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在Ogg Vorbis音频格式中）等方面有广泛的应用。 频谱分析 从理论上可以得出函数 \cos(\omega t)\, 的傅立叶变换除了在频率 \pm \omega\…
单射
在數學裡，單射函數（或稱內射函數、嵌射函數、一對一函數，英文稱）為一函數，其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說，函數f被稱為是單射的，當對每一陪域內的y，存在最多一個定義域內的x使得f(x) = y。 由從X 映射至Y 的單射函數所組成的集合標記為YX，該符號的由來為下降階乘冪。當X 及Y 分別為具有m 個及n 個元素的有限集合時，從X 映射至Y 的單射函數數量可以以下降階乘冪表示為nm。 定義 令f 為一函數，且其定義域為…
超越函數
數學領域，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，也就是說函數不能表示為自变量与常数之间有限次的加、減、乘、除和開方。 嚴格的說，關於變量z的解析函數f(z)是超越函數，如果該函數是關於變量z是代數獨立的。 對數和指數函數即為超越函數的例子，超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、餘弦、正割、余割、正切 、…
恆等函數
恆等函數（）是数学中对于傳回和其輸入值相同的函數的称呼。換句話說，恆等函數為函數f(x)~=~x。 定義 設M為一集合，於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數，其對任一M內的元素x，會有f(x)=x的關係。 於M上的恆等函數f通常標記為\operatorname{Id}_m或{1}_m。 代數性質 設f : M → N為任一函數，則會有f o idM = f = idN o f（其中"o"為函數複合）。特別地是，idM會是…
满射
满射或蓋射（），或稱满射函数或映成函數，一个函数f:X\rightarrow Y为满射，則对于任意的陪域 Y 中的元素 y，在函数的定义域 X 中存在一點 x 使得 f(x)=y。换句话说，f是满射時，它的值域f(X)与陪域Y相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 y\in Y 其原像 f^{-1}(y)\subseteq X 不等於空集合。 例子和反例 函数g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}，定义…
奇函數與偶函數
在數學裡，偶函數（）和奇函數（）是滿足著相對於加法逆元之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要，特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裡。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件：若n為一偶數，則函數x^n是偶函數，若n為一奇數，則為奇函數。 偶函數 設f(x)為一實變數實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有在f的定義域內的x都成立： :f(x) = f(-x) 幾何上，一個偶函數會关于y軸對稱，亦即其圖像在對y軸為轴对称後…
有界函数
在数学中，如果在某个集合X上定义的具有实数或复数值的某个函数f的值域是有界集合，则函数f被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数M>0，使得对于集合X中的所有x，都有|f(x)|\le M。有时，如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\le A，则函数f称为上有界的，A就是它的一个上界；如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\ge B，则函数称为下有界的，B就是它的一个下界。 一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合\m…
简单函数
简单函数（）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。 定义 集合 \Omega 上有Σ-代数 \Sigma ，若對函数 \Omega \to \R ，存在 A_1,\,A_2,\cdots,A_n\in\Sigma 和 a_1,\,a_2,\cdots,a_n\in\R，使得： :f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x). 其中 {\mathbf 1}_{A} 代表集合 A 的指示函…
正交函数
在数学中，正交函数（）所属的函数空间是有双线性形式的向量空间。当函数空间的定义域是一个区间，双线性形式可能是积分式： : \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx 函数f与g在这个积分值是0时正交，即\langle f, \ g \rangle = 0 只要 f \neq g。 如有限维空间中的向量基一样，正交函数可以形成函数空间的无限基。从概念上讲，上述积分等效于矢量点积； 如…