简单函数

简单函数（）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。

定义
集合 \Omega 上有Σ-代数 \Sigma ，若對函数 \Omega \to \R ，存在 A_1,\,A_2,\cdots,A_n\in\Sigma 和 a_1,\,a_2,\cdots,a_n\in\R，使得：

:f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x).

其中 {\mathbf 1}_{A} 代表集合 A 的指示函數，即：

:{\mathbf 1}_A(x) =
\left\{
\begin{matrix}
1, & \mbox{if } x \in A \\
0, & \mbox{if } x \not\in A
\end{matrix}
\right.

則 f 稱為簡單函數，也就是說，简单函数是可测集合（即 \Sigma 的元素）的指示函数的有限线性组合。

範例

• 半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
• 实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

性质
根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

{{Math proof|proof=
对每个正整數 n\in\N，把 [0,\,\infty) 分成 2^{2n}+1個區間，也就是取

:I_{n,k}=\left[k 2^{-n},\, (k+1) 2^{-n} \right) ，对于 k=0,1,\ldots,2^{2n}-1。

以及

:I_{n,2^{2n}}=[2^n,\infty)

然後定义可测集合

:A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})，对于 k=0,1,\ldots,2^{2n}。

則可對每個正整數 n\in\N 定義非負简单函数 f_n: \Omega \to [0,\,\infty) 如下

:f_n(\omega)=\sum_{k=0}^{2^{2n}}\frac{k}{2^n}\cdot{\mathbf 1}_{A_{n,k}}(\omega)

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列 {\{f_n\}}_{n \in \N} 。

這樣的話，取任意 \omega \in \Omega ， 都存在正整數 n_{\omega} \in \N 使得

:2^{n_{\omega}} > f(\omega)

這樣的話，只要 n>n_{\omega} 的話，都會存在正整數 k\in\N 使得

:k 2^{-n} \leq f(\omega)

所以有

:|f(\omega)-f_n(\omega)|

再考慮到，對任意正實數 \epsilon \in (0,\,\infty) ，都存在正整數 m \in \N 使得

:2^m \epsilon > 1

所以總結一下，對任意正實數 \epsilon \in (0,\,\infty)，取正整數 n > \operatorname{max}\{m,\,n_{\omega}\} ，就會有

:|f(\omega)-f_n(\omega)|

所以簡單函數序列 \{f_n\} 的確會逐点收敛至 f。

注意到若 f 是有界的，那存在一個跟點 \omega\in\Omega 選取無關的正整數 n \in \N 使得

:2^n > f(\omega)

那這樣的話，對任意正實數 \epsilon \in (0,\,\infty)，取正整數 n^{\prime} > \operatorname{max}\{m,\,n\} ，就會得到一致收斂。\Box
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简单函数的积分
测度 \mu:\Sigma\to [0,\,\infty) 定义在 \Omega 的Σ-代数 \Sigma 上，若簡單函數 f:\Omega \to \R 可表達為

:f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)

則 f 於某個 E \in \Sigma 上，對測度 \mu 的勒贝格积分定義為：

:\int_{E} f\, d \mu := \sum_{k=1}^na_k\mu(A_k \cap E)

参考文献
J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability*, 1966, Cambridge.
S. Lang. Real and Functional Analysis*, 1993, Springer-Verlag.
W. Rudin. Real and Complex Analysis*, 1987, McGraw-Hill.
H. L. Royden. Real Analysis*, 1968, Collier Macmillan.