泰勒级数
在数学中，泰勒级数（）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式和泰勒展開的英國数学家布魯克·泰勒（）来命名的。，以苏格兰数学家科林·麦克劳林（）的名字命名。 拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒…
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挂谷集合
的内部旋转的转针。 在它转动的每一阶段（除了一个端点是在三尖瓣线的一个顶点时），转针与三尖瓣线相交于三个点：两个端点（蓝色）和一切点（黑色）。 转针的中点（红色）描绘了一个直径等于转针一半的长度的圆。]] 在数学中，挂谷集合（Kakeya set）或者贝西科维奇集合，是一个在欧几里德空间中的点的集合，包含了在任何方向上的单位线段。例如，欧几里德平面中的一个半径为 \dfrac12 的圆盘，或在三维空间中一个半径为 \dfrac12 的球…
极限 (数学)
极限（）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 概念 数列极限 以数列a_n = \frac{1}{n}为例，直觀上随着n的增大，a_n越来越接近0，于是可以…
吉布斯现象
在數值分析领域中，吉布斯現象（Gibbs phenomenon）是傅立葉級數對具有不連續點的週期函數進行近似時出現的振盪行為。對該函數的N項傅立葉級數部分和（由函數傅立葉級數中最低的 N 個正弦波組成）在不連續點附近會出現明顯的過衝。即使使用更多的正弦項，這種逼近誤差也只會收斂到約為跳躍高度 9% 的極限，儘管無窮傅立葉級數最終仍會幾乎處處收斂。 吉布斯現象最初是由實驗物理學家觀察到的，當時人們認為這是由於測量儀器的缺陷所致，但其實這是…
实变函数论
的傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具]] 實分析，也称为實數分析、实变函数论（、），是處理實數及实函数的數學分析。專門研究實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性、光滑性以及其他相關性質。 實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。 內容 實數的構造 有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理，將實數變成完備有序域。在一般集合论的公理下，可以證明這些公理都是明確的…
绝对连续
在数学中，绝对连续是一个光滑性质，比连续和一致连续都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。 函数的绝对连续 定义 设(X, d)为一个度量空间，并设I为实直线R上的区间。函数f : I → X在I上绝对连续，如果对于每一个正数\varepsilon，都存在一个正数\delta，使得当I的两两不交的子区间[xk, yk]的（有限或无限）序列满足 :\sum_{k} |y_k - x_k| 时，就有： :\sum_{k} d \l…
麦克劳林不等式
数学中，麦克劳林不等式（），以科林·麦克劳林冠名，是算术几何平均不等式的加细。 设 a1, a2, ..., an 是正实数，对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为 : S_k = \frac{\displaystyle \sum_{ 1\leq i_1 这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an 的 k 阶基本对称多项式，即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分…
上极限和下极限
]] 在微积分学中，上極限和下極限（）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 \{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty} 的上極限為 1，下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。 定义 序列(x_n)的上极限定义是 :\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,…
振荡 (数学)
数学中，函数或序列的振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其极值之间的变化程度的数字。与极限类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡，以及函数在区间（或开集）上的振荡。 定义 序列的振荡 令(a_n)为实数序列。则序列的\omega(a_n)振荡可定义为(a_n)的上下极限之间的差（可能是无穷大）： :\omega(a_n) = \limsup_{n\to\infty} a…
有界函数
在数学中，如果在某个集合X上定义的具有实数或复数值的某个函数f的值域是有界集合，则函数f被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数M>0，使得对于集合X中的所有x，都有|f(x)|\le M。有时，如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\le A，则函数f称为上有界的，A就是它的一个上界；如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\ge B，则函数称为下有界的，B就是它的一个下界。 一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合\m…
简单函数
简单函数（）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。 定义 集合 \Omega 上有Σ-代数 \Sigma ，若對函数 \Omega \to \R ，存在 A_1,\,A_2,\cdots,A_n\in\Sigma 和 a_1,\,a_2,\cdots,a_n\in\R，使得： :f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x). 其中 {\mathbf 1}_{A} 代表集合 A 的指示函…
贝尔函数
在数学中，贝尔函数（Baire function）是这样一类函数，它们可以通过对连续函数进行超限迭代的逐点极限运算而得到。这些函数由勒内-路易·贝尔于1899年引入。如果一个集合的特征函数是贝尔函数，则称该集合为（Baire set）。 参见 * 處處不連續函數
拟凸函数
的概率密度函数是拟凹的，但不是凹的]] 拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数a，(-\infty, a)的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。 凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。 定义与性质 设函数f:S \to \mathbb{R}定义在实向量空间的凸子集S上。我们称f是拟凸的，如果对…
指示函数
在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。 集X的子集A的指示函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace，定义为 : A的指示函数也记作\chi_A(x)\,或I_A(x)\,。 简单性质 把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。 如果A和B是X的两个子集，那么 :1_{A\…
法图引理
在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 叙述 设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么： : \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}…
二项式级数
二项式级数是二项式定理的推广，适用于幂不是正整数的情况： {{NumBlk|:|\begin{align} (1+x)^\alpha &= \sum_{k=0}^\infty \!\binom\alpha k x^k \\ &= 1 +\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots \end{alig…
分部求和法
分部求和法（）也叫阿贝尔变换（，有别于）或阿贝尔引理（）是求和的一种方法。设\{f_k\}和\{g_k\}为两个数列，则有 :\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = \left[f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m\right] - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_k). 它被用来证明积分第二中值定理。 分部求和公式也可被写成比较对称的方式： :\sum _{i=m+1…
叶戈罗夫定理
在测度论中，叶戈罗夫定理确立了一个可测函数的逐点收敛序列一致收敛的条件。这个定理以俄国物理学家和几何学家德米特里·叶戈罗夫命名，他在1911年出版了该定理。 叶戈罗夫定理与紧支撑连续函数在一起，可以用来证明可积函数的卢津定理。 定理的陈述 设(M,d)为一个可分度量空间（例如实数，度量为通常的距离d(a,b) = |a − b|）。给定某个测度空间(X,Σ,μ)上的M-值可测函数的序列(fn)，以及一个有限μ-测度的可测子集A，使得(f…
可积函数
数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。 注意，函数可以有不定积分（反导数），而并不在如下的定义中可积。例如函数 :F(x)=\sin(x) 是 :f(x)=\cos(x) 的不定积分，但是f(x)不是实数上的可积函数。这种情况在不定积分在每个方向都有极限的时候也可能成立，例如 :F(x)=\sin(x)…
魏尔施特拉斯函数
[[File:WeierstrassFunction.svg|300px|thumb|区间 [−2, 2] 上的魏尔施特拉斯函数。这个函数具有分形特性：某些部分会和整体自相似]] 数学中，魏尔施特拉斯函数（）是一类处处连续而处处不可导的实值病態函数，得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯。 历史上，魏尔施特拉斯函数是一个著名的数学反例。此前，对于函数的连续性，数学家的认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数…