数学中，麦克劳林不等式（），以科林·麦克劳林冠名，是算术几何平均不等式的加细。
设 a1, a2, ..., an 是正实数，对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为
: S_k = \frac{\displaystyle \sum_{ 1\leq i_1
这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an 的 k 阶基本对称多项式，即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数，二项式系数 \scriptstyle {n\choose k}。
麦克劳林不等式是如下不等式链：
: S_1 \geq \sqrt{S_2} \geq \sqrt[3]{S_3} \geq \cdots \geq \sqrt[n]{S_n}
等号成立当且仅当所有 ai 相等。
对 n = 2，这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:
:
\begin{align}
& {} \quad \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} \\ \\
& {} \ge \sqrt{\frac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \\ \\
& {} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{4}} \\ \\
& {} \ge \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}.
\end{align}
证明
麦克劳林不等式可用牛顿不等式证明。证明的思路是运用归纳法：
*首先证明
*: S_1 \geq \sqrt{S_2}
*:也就是： (n-1)(\sum_{k=1}^n a_k)^2 \geq 2n \sum_{1 \leq i 。
*:这个式子等价于 (n-1)\sum_{k=1}^n a_k^2 \geq 2 \sum_{1 \leq i ，
*:也就是： \sum_{1 \leq i 。因此成立。
*其次，假设对某个 k \geq 2，已经证明了\sqrt[k-1]{S_{k-1}} \geq \sqrt[k]{S_{k}}，那么也就等于说证明了：
*: S_{k-1}^k \geq S_k^{k-1}
*:牛顿不等式说明，还有： S_{k}^2 \geq S_{k+1} S_{k-1}
:这个不等式两边作k* 次乘幂，就得到： S_{k}^{2k} \geq S_{k+1}^k S_{k-1}^k
*:从而： S_{k}^{2k} \geq S_{k+1}^k S_k^{k-1}
*: S_{k}^{k+1} \geq S_{k+1}^k
*:\sqrt[k]{S_{k}} \geq \sqrt[k+1]{S_{k+1}}
于是，综上所述，可以证明对所有的1 \leq k \leq n-1，都有：
\sqrt[k]{S_{k}} \geq \sqrt[k+1]{S_{k+1}}
麦克劳林不等式得证。
参见
- 牛顿不等式
- Muirhead不等式
- 广义平均不等式
参考
*
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