簡森不等式
，或稱延森不等式，以丹麥數學家約翰·延森命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： :t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \geq f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ), 0 \l…
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共 28 篇文章
贝尔定理
在理論物理學裏，貝爾定理（）表明 貝爾定理是一種不可行定理，又知名為貝爾不等式。這定理在物理學和科學哲學裏異常重要，因為這定理意味著量子物理必需違背定域性原理或反事實確定性 。發表於1964年，貝爾定理是因北愛爾蘭物理學家約翰·貝爾而命名。 贝尔定理的实验验证所得到的結果，符合量子力學理論的預測，並且顯示某些量子效應似乎能夠以超光速行進。由於這驗證結果，所有歸類為隱變數理論、經得起考驗的量子理論都只能限制為種類。2015年，台夫特理工大…
邦泽不等式
邦泽不等式（）為數論中的不等式，得名自H·邦泽，有關質數階乘和未在其質因數分解中出現的最小質數之間的大小關係。 陳述 若p_1, p_2, \cdots, p_n及p_{n+1}為最小的n+1個質數，且n\ge4，則有以下關係： : p_{n+1}^2 這不等式是伯特蘭-切比雪夫定理的一個結果：伯特蘭-切比雪夫定理指出， p_{n+1}，因此有 p_{n+1}^2 數值驗證 以下列出一些質數之間的關係，前四行不在邦泽不等式的範圍內 :{…
法諾不等式
法諾不等式（Fano's inequality）也稱為法諾引理（Fano lemma）是信息论中的一個定理，說明噪音信道中的平均信息损失和错误分类概率之間的關係。法諾不等式是羅伯特·法諾是1950年代於麻省理工学院教授博士讨论班的时候推導的，後來放在1961年編寫的教科書中。 法諾不等式在信息论中，提供了解码器错误概率的下界。在统计学中，提供了时的下界。 用符号 H(\cdot)表示熵， H(X |Y) 表示随机变量X与Y之间的条件熵，…
麦克劳林不等式
数学中，麦克劳林不等式（），以科林·麦克劳林冠名，是算术几何平均不等式的加细。 设 a1, a2, ..., an 是正实数，对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为 : S_k = \frac{\displaystyle \sum_{ 1\leq i_1 这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an 的 k 阶基本对称多项式，即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分…
对数求和不等式
对数求和不等式（Log sum inequality）是一个不等式 ，可用于证明信息论中的多个定理。 定理陈述 对任何非负实数 a_1,\ldots,a_n 和正数 b_1,\ldots,b_n ，并记 :a:=\sum_{i=1}^n a_i 及 b:=\sum_{i=1}^n b_i 则有如下的对数求和不等式： :\sum_{i=1}^n a_i\log\frac{a_i}{b_i}\geq a\log\frac{a}{b}, 上式…
幂平均
幂平均（），又稱广义平均（）或赫尔德平均（），是一族從數列到實數的函數。幂平均函數的特殊情況包括毕达哥拉斯平均（算术、几何、调和平均），因此可視為毕达哥拉斯平均的一種推廣。 定义 若 p 是一非零实数，可定义非負实数 x_1,\dots,x_n *的p次幂平均为 : M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{\frac{1}{p…
索博列夫不等式
在数学分析中有一类关于索博列夫空间中的范数的索博列夫不等式（; 俄语：Соболев неравенство）。 这些不等式可以用于证明索博列夫嵌入定理，给出某些索博列夫空间的包含关系。而指出在稍强的条件下，一些索博列夫空间可以被到另一个空间。这类不等式得名于苏联数学家谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。 索博列夫嵌入定理 令W k,p(Rn)表示包含Rn上所有满足前k阶弱导数属于Lp的实值函数的索博列夫空间。其中k是非负整数且有1 ≤ p 。…
法图引理
在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 叙述 设(S,\Sigma,\mu)为一个测度空间， (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么： : \int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}…
格朗沃尔不等式
在数学中，格朗沃尔不等式（Grönwall's inequality）或格朗沃尔引理（Grönwall's lemma）说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。 格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。 格朗沃尔不等式的…
贝塞尔不等式
在数学里的泛函分析中，贝塞尔不等式（）是类似于勾股定理的一种不等式。贝塞尔不等式揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系。举例来说，平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和，而对于一个三维空间上的向量，它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和一般会小于它自身的长度的平方，除非它就在这两个坐标轴构成的平面上。对于一个希尔伯特空间中的向量来说，它在任意一个正交序列上的投影的平方和也是…
塔珀自指公式
塔珀自指公式（）是傑夫·塔珀（）發現的自指公式：此公式的二維圖像與公式本身外觀一樣。 歷史 公式最初於他2001年SIGGRAPH的論文中提及。此論文主要討論他開發的[http://www.peda.com/grafeq/ GrafEq] 公式作圖程序的相關方法。此公式在眾多數學與計算機科學課程裡被用作繪製公式圖像的練習作業。 公式 此公式是個不等式： : {1\over 2} 其中\lfloor \cdot \rfloor表示向下取整…
庞加莱不等式
数学中，庞加莱不等式（）是索伯列夫空间理论中的一个结果，由法国数学家昂利·庞加莱命名。这个不等式说明了一个函数的行为可以用这个函数的变化率的行为和它的定义域的几何性质来控制。也就是说，已知函数的变化率和定义域的情况下，可以对函数的上界作出估计。庞加莱不等式在现代的变分法理论中有重要应用。一个与之相近的结果是弗里德里希不等式（）。 叙述 经典形式 设p是一个大于等于1的实数，n是一个正整数。\Omega 是n维欧几里得空间\mathbb{…
不等式列表
以下列出著名的不等式： 数学分析 伯努利不等式 切比雪夫总和不等式 克拉克森不等式 格罗滕迪克不等式 闵可夫斯基不等式 代数 排序不等式 杨氏不等式 舒尔不等式 柯西不等式 內斯比特不等式 平均数不等式 算术-几何平均值不等式 樊畿不等式 牛顿不等式 马勒不等式 线性矩阵不等式 阿贝尔不等式 几何 三角不等式 佩多不等式 埃尔德什-莫德尔不等式 外森比克不等式 三角形内角的嵌入不等式 阿达马不等式 概率与统计 Azuma不等式 Cher…
不等式
不等式是數學名詞，是指表示二個量之間不等的敘述。一般用两個表示式表示要探討的量，中間再加上不等關係的符號，表示兩者的關係。以下是一些不等式的例子： :a :x+y+z \leq 1,\, :n > 1,\, :x \neq 0.\, 有些作者認為不等式只能用來表示中間有出現不等號≠的關係式。 連鎖的不等式 若幾個不等式中間有共用的變數，而且幾個不等式有逻辑与的關係，有時會直接將不等式寫在一起來簡化。例如不等式 :0 \leq a 是以下…
不等
数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种： a，即a小于b a>b，即a大于b 上述两个属于严格不等。 a\leq b，即a小于等于b a\geq b，即a大于等于b a\neq b，即a不等于b 将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。 若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。 不…
线性矩阵不等式
线性矩阵不等式是凸优化中，具有形式： \operatorname{LMI}(y) := A_0+ y_1 A_1+y_2 A_2+\cdots +y_m A_m\geq0\, 的表达式, 其中, y=[y_i \, , ~i \! = \! 1, \dots, m] 是一个实向量, A_0, A_1, A_2, \dots, A_m 是 n \times n 的实对称矩阵 \mathbb{S}^n, B\geq0 是廣義的不等式，意思是…
維廷格函數不等式
數學上，實函數的維廷格不等式是傅里叶分析中的一條不等式，得名於。1904 年，其用作證明等周不等式。若干相關變式也稱作維廷格不等式。 定理 第一形式 設 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 為週期 2π 的周期函数，其在 R 上連續，並有連續導數，且滿足 :\int_0^{2\pi}f(x) \, dx = 0. 則 :\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx \ge \int_0^{2\pi}f^2…
阿达马三圆定理
在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。 设 f(z) 是环域 r_1\leq\left| z\right| \leq r_3 上的全纯函数， M(r) 是 |f(z)| 在圆周 |z|=r 上的最大值。那么， \log M(r) 是一个对数 \log (r) 的凸函数。进一步，如果不存在常数 \lambda 和c，使得 f(z) 是 cz^\lambda 的形式，那么 \log M(r) 是 \log (r) 的严格凸…
高登-湯普森不等式
在物理學和數學上，高登─湯普森不等式（Golden–Thompson inequality）是一個由和二氏所證明的不等式，該不等式的定義如下： 若A和B是埃尔米特矩阵，則以下不等式成立： : \operatorname{tr}\, e^{A+B} \le \operatorname{tr} \left(e^A e^B\right) 其中 \operatorname{tr}\, X 指的是矩陣的跡，而 e^X 則是矩阵指数。此不等式在统计…