切比雪夫不等式
切比雪夫不等式（），是概率论中的一个不等式，顯示了隨機變量的「幾乎所有」值都會「接近」平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（）或比奈梅-切比雪夫不等式（）。切比雪夫不等式对任何分布数据都适用。 切比雪夫不等式可表示为以下形式：对于任何随机变量 X 和实数 b>0，都有 P(|X-E(X)|\geq b)\le\frac{Var(X)}{b^2}，其中 E(X) 表示 X 的数学期望，Var(X) 为 X 的…
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共 11 篇文章
簡森不等式
，或稱延森不等式，以丹麥數學家約翰·延森命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： :t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \geq f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ), 0 \l…
赫尔德不等式
赫爾德不等式（）是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式： 設S為測度空間，1 \le p,q \le \infty，及{1\over p} + {1\over q} = 1，設f在L^p(S)內，g在L^q(S)內。則f\mbox{ }g在L^1(S)內，且有 :\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q, 等号当且仅当|f|^p 与|g|^q （幾乎處處）线性相关…
吾妻不等式
在機率論中，吾妻不等式（）是关于差有界的鞅的不等式，给出了值的集中情况，以日本數學家吾妻一興命名。 陈述 设\{X_k\}为鞅（或上鞅），且|X_k-X_{k-1}|几乎必然成立。则对任意正整数N与正实数t， P(X_N-X_0\ge t)\le\exp{\frac{-t^2}{2\sum_{k=1}^N{c_k^2}}} 当\{X_k\}是下鞅时，对称地有： P(X_N-X_0\le -t)\le\exp{\frac{-t^2}{2\…
霍夫丁不等式
在概率论中，霍夫丁不等式（）适用于有界的随机变量，提供了有界独立随机变量之和偏离其期望值超过一定数量的概率的上限，即\max \mathbb{P}(\overline{X} - \mathbb{E}[\overline{X}] \geq t )。霍夫丁不等式在1963年由瓦西里·霍夫丁（Wassily Hoeffding）证明。 霍夫丁不等式是吾妻不等式和的一个特例。它类似于切尔诺夫界，但往往不那么尖锐，特别是当随机变量的方差很小时。它…
馬爾可夫不等式
在概率论中，马尔可夫不等式（）给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界。虽然它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，但该不等式曾出现在一些更早的文献中，其中包括马尔可夫的老师——切比雪夫。 马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。 马尔可夫不等式的一个应用是，不超过1/5的人口会有超过5倍于人均收入的收入。 表达式 X为一非负随机变量，则 :\mathrm{P}(X \geq a) \le…
罗斯猜想
罗斯猜想（）是排队理论的猜想，若一個排队队伍中，顾客不是随机到达的最简单模型來排队，此猜想提供顾客平均等待时间下界。 这是美国南加州大学教授謝爾登·M·羅斯在1978年提出的猜想，1981年由波兰弗罗茨瓦夫大学的托马什·罗尔斯基（Tomasz Rolski）教授证明。用罗斯猜想可得到其下界，而在有限的缓冲队列下，下界不成立。 下界 罗斯猜想是指一個隊伍，其到達機率是依，或是非靜態的卜瓦松過程，其平均等待時間會大於等於 ::\frac{\…
布尔不等式
布尔不等式（），由乔治·布尔提出，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。 对于事件A1、A2、A3、......： :P(\bigcup_{i} A_i) \le \sum_i P(A_i) 在测度论上，布尔不等式满足σ次可加性。 证明 布尔不等式可以用数学归纳法证明。 对于1个事件： :P(A_1) \le P(A_1) 对于n个事件： :P(\bigcup_{i=_1}^{n} A_i) \le \sum_{i=_1}^{n…
柯尔莫哥洛夫不等式
在概率论中，柯尔莫哥洛夫不等式是一个关于独立随机变量序列的部分和的不等式。这个不等式以苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫的名字命名，他在1929年发现了这个不等式。 不等式的陈述 设\{X_n\}是独立的随机变量序列，并且对所有正整数i，第i个随机变量的期望E[X_i]=0，方差\operatorname{var}(X_i)=E[X_i^2]是有限的，那么对于任意\varepsilon>0， : \Pr \left(\max_{1\leq …
吉布斯不等式
吉布斯不等式說明： 若 \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{i=1}^n q_i = 1 ，且p_i , q_i \in (0,1]，則有： : - \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \leq - \sum_{i=1}^n p_i \log q_i，等號成立若且唯若p_i = q_i \forall i 在信息論和概率論，它能應用在法諾不等式和訊號源編碼定理的證明。 約西亞·吉布斯在19世紀提出它。 證明…
伯恩施坦不等式
在概率论中，伯恩施坦不等式（Bernstein inequalities）给出了随机变量的和对平均值偏离的概率。在最简单的情况下，设X_1,\cdots,X_n是独立的伯努利随机变量，取值+1和-1的概率各是1/2，则对任意正数\varepsilon \mathbb{P}\left(\left|\frac 1n\sum_{i=1}^n{X_i}\right|>\varepsilon\right)\le2\exp{\left(-\frac…