次导数
次导数（英语：subderivative）、次微分（英语：subdifferential）、次切線（英语：subtangent lines）和次梯度（英语：subgradient）的概念出现在凸分析，也就是凸函数的研究中。要注意的是，次切線（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。 设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数f(x)=|x|。但…
标签：#凸分析
共 16 篇文章
内点法
内点法（），也称为障碍法（），是解决线性和非线性凸优化问题的一类算法。 内点法由前苏联数学家伊·伊·迪金（I. I. Dikin）于1967年发现，并于20世纪80年代中期在美国重新发明。1984年纳伦德拉·卡玛卡（Narendra Karmarkar）开发了一种称为卡玛卡算法的线性规划方法，该算法在可证明的多项式时间内运行，并且在实践中也非常高效。它能够解决超出单纯形法能力的线性规划问题。与单纯形法不同，它通过遍历可行区域的内部来达到…
凸函数
函數(x, y) \mapsto x^2 + xy + y^2的圖像，形如開口向上的碗。]] 凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的实值函数，如單變數的二次函数和指数函数。二階可導的一元函數f為凸，当且仅当其定義域為凸集，且函數的二階導數f在整個定義域上非負。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯\cup，而相反，凹函数則形如開口向下的帽\cap。 在最优化研究中，凸函數的最…
簡森不等式
，或稱延森不等式，以丹麥數學家約翰·延森命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係，在此不等式最簡單形式中，闡明了對一平均做凸函數轉換，會小於等於先做凸函數轉換再平均。若將簡森不等式應用在二點上，就回到了凸函數的基本性質：过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方，即： :t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \geq f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ), 0 \l…
凸分析
凸分析是研究凸函数与凸集性质的数学分支，其应用称作凸优化，是最优化理论的子分支。 凸集 某向量空间X的子集C \subseteq X，若满足下列任意一条等价条件，就称其是凸的（convex）： #若0 \leq r \leq 1是实数，x, y \in C，则r x + (1 - r) y \in C. 若0 \neq x \in X，则此定义可简化为： :\partial f (x) = \left\{ x^ \in X^ ~:~ \…
真凸函数
在数学分析， 特别是凸分析与最优化中， 凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在 x 使得 :f(x) 同时对所有 x 满足 :f(x) > -\infty 称被称作真凸函数。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 -\infty.。 不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。 若函数 g 的负函数 f = -g 为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。 性质 对于Rn 上任意真凸函数f， 存在Rn上的 b 与实数 β，…
径向集
在数学中，给定线性空间X上的一个集合A\subseteq X，如果对于所有x \in X，存在t_x > 0，使得对任意t \in [0,t_x]有x_0 + tx \in A，则称集合A在点x_0 \in A处是径向的（）。在几何上，这意味着，如果对任意x \in X，从x_0发出朝向x的线段落于A中（线段长度非零但可以依赖于x），则A在点x_0处是径向的。 若集合在某点是径向的，則称为該點為内点（）。在此意義下，子集A \subse…
凸锥
在线性代数中，锥体——有时称为线性锥体（英语：linear cone），以区别于其他类型的锥体——是向量空间的子集，在正标量乘法下是封闭的。也就是说 是圆锥体，如果x\in C证明对于每一个正标量s均有sx\in C。 当标量是实数或属于有序域时，通常将锥体称为向量空间的子集，该子集在与正标量相乘时闭合。 在这种情况下，凸锥体（英语：convex cone）是在加法下闭合的锥体，或者等效地，在具有正系数的线性组合下闭合的向量空间的子集。…
拟凸函数
的概率密度函数是拟凹的，但不是凹的]] 拟凸函数（Quasiconvex function）是一类定义在实向量空间的区间或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数a，(-\infty, a)的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，则称为拟凹函数。 凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。 定义与性质 设函数f:S \to \mathbb{R}定义在实向量空间的凸子集S上。我们称f是拟凸的，如果对…
超平面分離定理
超平面分离定理（）是几何学中关于n维欧几里德空间中不相交凸集的定理，有几个相当相似的版本。在该定理的一种版本中，如果这两个集合都是闭集并且至少其中一个是紧的，那么它们之间存在一个超平面，甚至它们之间存在两个由间隙隔开的平行超平面。 在另一个版本中，如果两个不相交的凸集都是开集，那么它们之间有一个超平面，但不一定有任何间隙。 与分离超平面正交的轴是分离轴，因为凸体在该轴上的正交投影是不相交的。 超平面分离定理由赫尔曼·闵可夫斯基提出，後哈…
凸共轭
在数学中，凸共轭（）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威爾納·芬克爾命名。 定义 函数f : X \rightarrow ( - \infty , + \infty ]在扩展的实数轴上取值。 它的凸共轭定义为：f^\star : X^ \rightarrow ( - \infty , + \infty ] : x^ \ri…
高斯-卢卡斯定理
高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了複系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。 这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由证明。 动机 二次多项式P(x) =ax^2+ bx +c 的导数P'的根为原多项式P的两个根的平均数。 同样地，如果一个 n次多项式有 n 个两两不同的实值零点x_1，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 [x_1,x_n]之中。 高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质…
凸集
在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。 凸集實例 區間是實數的凸集。 依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。 单纯形是凸集，對於單純形的顶点集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。 定宽曲线是凸集。 凸集的延森不等式定義 在度…
示性函数 (凸分析)
在数学领域的凸分析中，集合的“示性函数”为凸函数，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规示性函数定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。 定义 假设 A 为集合 X 的子集。 A 的 “示性函数” :\chi_{A} : X \to \mathbb{R} \cup \{ + \infty \} 在擴展實數線上的值定义为 :\chi_{A} (x) := \begin{cases} …
凸優化
凸函数最优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的問題。凸最佳化在某種意義上說較一般情形的數學最佳化問題要簡單，譬如在凸最佳化中局部最佳值必定是全局最佳值。凸函數的凸性使得凸分析中的有力工具在最佳化問題中得以應用，如次导数等。 凸最佳化應用於很多學科領域，諸如自動控制系統，信號處理，通訊和網絡，電子電路設計，數據分析和建模，統計學（最佳化設計），以及金融。在近來運算能力提高和最佳化理論發展…
度規函數
度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設E為\R或\mathbb C上的向量空間，有需要時可以假設為拓撲向量空間。設C為在E內的凸集，且包含原點。那麼C的度規函數p是從E到\mathbb R \cup \{+ \infty \}的函數，定義為 :p(x)= \inf\, \{\lambda >0 \,\mid\, x \in \lambda C \} , 如果C為空集，定義p(x)= +\infty 。 從定義立刻得到以下結果，可以進一步…