凸集

在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。

凸集實例

• 區間是實數的凸集。
• 依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。
• 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。
• 单纯形是凸集，對於單純形的顶点集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。
• 定宽曲线是凸集。

凸集的延森不等式定義
在度量幾何中，琴生不等式（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到二階導數：

:假設S為在實或複向量空間的集。若對於所有x,y \in S和所有t \in [0,1]，有(1-t)x + ty \in S，則稱S為凸集。
簡單而言，就是S中的任何兩點之間的直線段都屬於S。因此，凸集是一個連通空間。

特殊凸集
特殊凸集是特別給了名稱的凸集，它們可能是具有額外性質的凸集，或是在某種定義下的凸集（非一般定義中的凸集）。
具有額外性質的凸集

• 絕對凸集：若S既是凸集又是平衡集，則稱S為絕對凸的。

在某種定義下的凸集

• 星形凸集：若集S中存在一點x_0，使得由x_0到S中任何一點的直線段都屬於S，則稱S為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。

性質
若S是凸集，對於任意u_1,u_2,\ldots,u_r \in S，及所有非負數\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r滿足\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1，都有
\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k \in S。這個向量稱為u_1,u_2,\ldots,u_r的凸組合。

非歐幾何的凸集
對於非歐平面，可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

參見

• 凸函數
• 凸包