凸分析
凸分析是研究凸函数与凸集性质的数学分支，其应用称作凸优化，是最优化理论的子分支。 凸集 某向量空间X的子集C \subseteq X，若满足下列任意一条等价条件，就称其是凸的（convex）： #若0 \leq r \leq 1是实数，x, y \in C，则r x + (1 - r) y \in C. 若0 \neq x \in X，则此定义可简化为： :\partial f (x) = \left\{ x^ \in X^ ~:~ \…
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共 10 篇文章
绝对凸集
一个实或复向量空间上的集合C，如果它是凸集且是平衡集，则被称为是绝对凸的()或圆盘化的()，在这种情形下C被称为圆盘()。 性质 一个集合C是绝对凸的，当且仅当对于C中的任何点x_1, \, x_2和任意数\lambda_1, \, \lambda_2满足|\lambda_1| + |\lambda_2| \leq 1 ，有和\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2属于C。 由于任意绝对凸集的交集仍是绝对凸的，因此对于…
沙普利-福克曼引理
為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個非凸集中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。]] 沙普利-福克曼引理是的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數0和1組成的集合，與自身相加，…
支撑函数
在数学领域内，\mathbb{R}^n的一个非空的闭凸子集A的支撑函数h_A，描述了从A的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。h_A是\mathbb{R}^n上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地，h_A作为集合A上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概…
凸多边形
]] 在幾何學中，凸多边形是一種簡單多邊形，其不存在邊自我相交的情況，且任兩點之間連成的直線皆位於多邊形內部，這個特性與内部為凸集的簡單多邊形等價。在凸多邊形中，所有內角都小於或等於180度，而在嚴格凸多邊形中，所有內角都嚴格小於180度。 性質 简单多边形的下列性质与其凸性等价： 每個内角小於180度。 任何两个顶点间的线段位于多边形的内部或边界上。 *在多邊形內部或邊界上的任何两个顶点间的线段也同樣都會位於邊界內或邊界上。 多邊形完…
凸包
在一个实数向量空間V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。 : S := \bigcap_{X \subseteq K \subseteq V \atop K\ \mathrm{is\ convex}} K. X的凸包可以用X内所有点(x_1, \ldots, x_n)的线性组合来构造。 : S := \left\{ \left. \, \sum_{j=1}^n t_j x_j\, \right| x_j \in …
债券凸性
债券凸性（）在金融学中是指债券价格与利率间非线性关系的一种量度，表示为债券价格对利率的二阶导数，即价格－利率曲线的弯曲程度。与其相关的一个概念为债券久期，表示为价格对利率的一阶导数，即价格－利率曲线的斜率。 对久期相同的两个债券，当利率下降时，凸性大的债券价格上涨幅度更大。而当利率上升时，凸性大的债券价格下降的幅度更小。故相同条件下，债券的凸性越大越好。 假设债券价格为B、利率为r，债券凸性C的定义为： :C = \frac{1}{B}…
凸组合
在领域，凸组合（）指点的线性组合，要求所有系数都非负且和为 1。此处的「点」可以是仿射空间中的任何点，包括向量和标量。 如果给出有限个实向量空间中的点 x_1, x_2, \dots, x_n 这些点的凸组合即一个这样的点： :a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n 其中的任意实数 a_i 都满足 a_i \ge 0，且 a_1 + \dots + a_n = 1。 任意两个点的凸组合都在它们之间的线段上…
閔可夫斯基和
閔可夫斯基和（又譯作閔考夫斯基和）是兩個歐幾里得空間的點集的和，以德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基命名。點集A與B的閔可夫斯基和就是A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}。 其應用包括： 證明常寬圖形周長的Barbier定理 證明關於格點圖形的閔可夫斯基定理 數學形態學 例子 例如，平面上有兩個三角形，其坐標分別為A = {(1, 0),…
凸集
在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。 凸集實例 區間是實數的凸集。 依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。 单纯形是凸集，對於單純形的顶点集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。 定宽曲线是凸集。 凸集的延森不等式定義 在度…