凸分析

凸分析是研究凸函数与凸集性质的数学分支，其应用称作凸优化，是最优化理论的子分支。

凸集
某向量空间X的子集C \subseteq X，若满足下列任意一条等价条件，就称其是凸的（convex）：
#若0 \leq r \leq 1是实数，x, y \in C，则r x + (1 - r) y \in C.

若0 \neq x \in X，则此定义可简化为：

:\partial f (x) = \left\{ x^ \in X^ ~:~ \left\langle x^, x \right\rangle = \| x \| \text{ and } \left\| x^ \right\| = 1 \right\}；\partial f(0) = \left\{ x^ \in X^ ~:~ \left\| x^* \right\| \leq 1 \right\}.

\forall x \in X,\ x^ \in X^,\ f(x) + f^\left(x^\right) \geq \left\langle x^, x \right\rangle,这就是芬切尔-扬不等式，当且仅当x^ \in \partial f(x)时是等式。正是通过这种方式，次微分集\partial f (x)与凸共轭f^\left( x^ \right)直接相关。

双共轭
函数f : X \to [-\infty, \infty]的双共轭是共轭的共轭，一般写作f^{**} : X \to [-\infty, \infty]。双共轭有助于显示强对偶或弱对偶何时成立（通过扰动函数）。

\forall x \in X,不等式f^{*}(x) \leq f(x)符合芬切尔-扬不等式。对紧合（proper）的函数，当且仅当f是凸的下半连续函数时，f = f^{*}（芬切尔–莫罗定理）。

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参考文献
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外部链接
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参考资料