三項式
在初等代數中，三項式是只有三項的多項式，即三個單項式的和。 三項式的例子 3x + 5y + 8z，其變數為x, y, z。 3t + 9s^2 + 3y^3，其變數為t, s, y。 3ts + 9t + 5s，其變數t, s。 ax^2+bx+c，標準型的二次函数，其中x是變數，a,b,c是常數。 A x^a y^b z^c + B t + C s，變數是x, y, z, t, s，a, b, c是非負整数，而A, B, C是常數。…
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雅可比猜想
雅可比猜想（）是代數幾何領域中的一個問題，探討多變量的可逆性。該猜想由數學家奧特-海因里希·凱勒於1939年提出，其後經命名並推廣。猜想斷言：若一個多項式映射的雅可比行列式為非零常數，則該映射必存在多項式反函數。這個問題的表述只需微積分與基礎代數知識即可理解，但背後涉及的數學結構較為複雜。 雅可比猜想多年來吸引眾多數學家研究，史蒂芬·斯梅爾將其列入斯梅爾問題第十六題。歷史上曾有多位學者發表證明，但事後被發現存在錯誤，至少有數篇公開發表的…
因式分解
因式分解 (英語: factorization)，此處特指多項式因式分解（），是代數學中的一種運算，指將一個多項式表示為兩個或多個較低次多項式的乘積。其目的通常是將原本較複雜的多項式轉化為較簡單的形式，以利於求根、化簡或進一步分析。 例如： 单元多項式x^2 - 1^2可被因式分解為\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)。 又如二元多項式x^2 - y^2因式分解為\left( x+y \right)…
七次方程
]] 七次方程是可以用下式表示的方程 :ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h=0,\, 其中 a≠0。 而七次函數是可以用下式表示的函數： :f(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h\, 其中 a≠0。換句話說，七次函數也就是階數為 7 的多項式，若 a=0，則多項式最多只為是六次函數。 若將令七次函數 f(x)=0，即可得到七次方程。 七次方程的係數 a, b, c…
三次方程
三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為 :ax^3 + bx^2 + cx + d = 0， 其中a, b, c, d (a\neq 0)是屬於一個域的數字，通常這個域為ℝ或ℂ。 本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程式。 历史 中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。 波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通…
不可约多项式
在數學裡，不可約多項式（，或稱質式，對應到自然數中的質數）是指不可被分解成兩個非常數多项式之乘積的非常数多項式。不可約的性質取決於係數所屬於的域或環。例如，多項式x^2-2在係數1與-2被認為是整數時是不可約的，而在這些係數被認為是實數時可分解成(x-\sqrt{2})(x+\sqrt {2})。亦即，「多項式x^2-2在整數上不可約，但在實數上不是不可約。」 不是不可約的多項式有時會被稱為可約。不過，「可約」這一詞可能被會用來指其他的…
一次方程
一次方程式也被稱為线性方程，因為在笛卡尔坐标系上任何一個一次方程的圖形都是一條直线。组成一次方程的每一项必須是常数或者是一个常數和一个变量的乘積。且方程中必須包含一个變量，因為如果没有變量只有常數，式子則是代数式而非方程式。 如果一次方程式中只包含一个文字符號，且最高次方為一，那么该方程就是一元一次方程式； 如果包含两个文字符號，且最高次方為一，那么就是二元一次方程式；以此類推。 一元一次方程 一元一次方程是指一个方程中仅含有一个变量（…
指數多項式
在數學上，指數多項式（exponential polynomials）是一類定義於交換群、環、域等之上，並同時有著帶變數多項式和指數函數的函數。 定義 域上的定義 指數多項式是同時帶有變數x和某種指數函數E(x)的多項式。在複數域\mathrm{C}中，將x映至e^x的常規指數函數就是這樣的指數函數。在這情境下，指數多項式一般指的是形如P(x,e^x)且P(x,e^x)\in\mathrm{C}的雙變數多項式。 複數域\mathrm{C…
系数
系数（）在数学中是指在某个表达式中作为某个对象的乘法因数的常数。比如说，9x2中的系数是9。 拥有系数的对象可以各种各样，比如说变量、函数、向量或者矩阵。有的时候系数似乎没有对象，比如说堅尼係數，实际上是因为对应的对象过于生僻而没有列出。在某些情况下，系数会被标上上标或下标，以示区分，如下式中： :a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + \cdots 为了与xn协调，an 是一个带有下标的系数，n = 1, 2, 3…
可分多项式
数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。 最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。 第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何…
多項式
多项式（）是代数学中的基础概念，是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式；例如x^2-3x+4就是一个三项一元二次多项式。未知数不止一个的多项式称为多元多项式，例如x^3+2y-3z就是一個三项三元三次多项式，一个多项式有几次取决于最高的那个项的次数（xy属于二次）。 可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不…
天元术
天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家王恂也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下，黄赤道矢弧若干”一题，王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 x^4+(14823.0624+243.50)x^2-1804707.859375x+14…
单位根
数学上，\,n\,次單位根是\,n\,次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。 定义 :z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots ) 这方程的複數根 z \,為n \,次單位根。 單位的 n \,次根有 n \,個： :e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)。 …
二次方程
二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。 一元二次方程 方程的一般形式 一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：ax^2+bx+c=0\,，其中 a\ne 0。ax^2\,为方程的二次项，a\,为方程的二次项系数；bx\,为一次项，b\,为一次项系数；c\,为常数项。若a=0\,，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。 求根公式 一元二次方程根的判别式為 \Delta=…
紐結多項式
在紐結理論中，扭結多項式指的是一類以多項式表達的紐結不變量（knot invariant），而此類多項式的係數則表示它所代表的紐結的一些性質。 歷史 第一個已知的紐結多項式，也就是所謂的亞歷山大多項式，是由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大在1923年引進的，但其他的紐結多項式卻一直都沒找到，直到近六十年後。 在1960年代，約翰·何頓·康威找出了一個對於亞歷山大多項式的某版本的糾結關係（skein relation），這又被稱為所謂的康威─亞歷…
雷米茲演算法
雷米茲演算法，或稱雷米茲交換演算法，由葉夫根尼·列維奇·雷米茲於1934年所發表。 雷米茲演算法為一尋找函式簡易近似之迭代演算法，特別是定義於切比雪夫空間的函式效果最佳。 一個在切比雪夫空間的典型例子是 n 次項切比雪夫多项式的子空間，屬於實數連續函式之向量空間，定義於 C[a, b] 區間。 給定一子空間，其最佳近似多項式的定義為：可將此近似多項式與原始函式之最大絕對差異最小化者。 在這個情況下，可由equioscillation t…
劳斯–赫尔维茨稳定性判据
劳斯–赫尔维茨稳定性判据（）是控制理论中的一個數學判据，是線性时不变系统（LTI）穩定的充分必要條件。劳斯測試是由英國數學家在1876年提出的快速演算法，可以判斷一線性系統其特徵方程式的根是否都有負的實部。德國數學家阿道夫·赫維茲在1895年獨立的提出將多項式的係數放到一個方陣中（此方陣稱為赫維茲矩陣），證明多項式穩定若且唯若赫維茲矩陣的主要子矩陣其行列式形成的數列均為正值。二個程序是等價的，而劳斯測試提供一個有效計算赫維茲行列式的方法…
無平方多項式
数学裡的無平方多項式（）是指在域或是整环上的單變數多項式，在包括其係數的代數閉域內，沒有重根。在特征為0的域，或是有限域中，單變數多項式是無平方因式，若且唯若其無法被任何的平方所。在物理學和工程上，會將無平方多項式稱為沒有重根的多項式。 根據乘积法则，若除以可以整除，則的除以也可以整除。反之亦然，因此f是無平方多項式若且唯若1是多項式和其導數的最大公因式。 多項式的無平方分解（square-free decomposition）或無平方…
最大公因式
兩個多項式的最大公因式（，简稱GCD）是指此多項式是兩多項式的因式，且不存在其他次數更高的公因式。最大公因式的概念類似兩整數的最大公因數。 針對係數在域裡的單變數多項式，可以像計算最大公因數一樣，用多项式除法的輾轉相除法計算最大公因式。可以得到的最大公因數，頂多會再乘以一個係數。 整數最大公因數和多項式最大公因式之間的類似之處，可以將所有用带余除法和輾轉相除法可以推得的性質擴展到單變數多項式。而且，最大公因式有其特殊的性質，因此在代數的…
多项式环
在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R 上的多項式環是由係數在 R 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 R-代數範疇中的自由對象。 定義 多項式函數與多項式 在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 \mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} …