单位根

数学上，\,n\,次單位根是\,n\,次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上，構成正多边形的頂點，但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

定义
:z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )

这方程的複數根 z \,為n \,次單位根。

單位的 n \,次根有 n \,個：

:e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)。

本原根
單位的 n \,次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是 n \,次本原單位根。n \,次本原單位根是e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }，其中k\,和n\,互質。n\,次本原單位根數目為歐拉函數\varphi (n)。
全体i次单位根对普通乘法作成群，即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群，且这是一个无限交换群，这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子
一次單位根有一個: 1 \,。

二次單位根有兩個: 1\,和-1\,，只有-1\,是本原根。

三次单位根是

:\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,
其中{i}是虚數單位；除1\,外都是本原根。

四次單位根是

:\left\{ 1, i, -1, -i \right\} ,

其中i和-i是本原根。

和式
當n\,不小於2\,时，n\,次單位根總和為0\,。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

:\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0。

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。
:
還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的x^{n-1}\,項係數為零得出。