拓撲量子場論
拓扑量子场论（又称拓扑场论，简称TQFT）是一类计算拓扑不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。 虽然拓扑量子场论由物理学家发明，但是在数学上也具有重要意义，与纽结理论、代数拓扑中的、代数几何中的模空间等分支均有联系。西蒙·唐纳森、沃恩·琼斯、爱德华·威滕和马克西姆·孔采维奇都因对拓扑场论方面的研究而获得菲尔兹奖。 20世纪70年代，就研究过一种拓扑量子场论（陳-西蒙斯理論）。80年代末，在迈克尔·阿蒂亚启…
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任意子
任意子（）是数学和物理学中的一个概念。它描述一类只在二维-{}-系统中出现的粒子。它是对费米子和玻色子概念的广义化。 阿贝尔任意子 在石墨烯、量子霍尔效应等二维物理系统中任意子这个数学概念变得越来越有用。 在三维以上的空间里，粒子根据其统计特性的不同只能是费米子或者是玻色子。费米子遵从费米-狄拉克统计，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计。在量子力学中这些统计是根据多粒子状态下粒子交换的反应来描写的。使用狄拉克符号在两粒子状态中为： :\lef…
詹姆斯·西蒙斯
{{Infobox person | name = 詹姆斯·西蒙斯 | birth_date = | birth_place = 美國马萨诸塞州密德瑟斯郡牛顿 | death_date = | death_place = 美國紐約州紐約市2019年7月，《福布斯》报道其身价为高达217亿美金，是世界上第44富有的人。在2019年美國400富豪榜，他以216億美元的資產，排名第21名。 而他在離世時，《福布斯》报道其身价达314亿美金，是…
陈省身
陈省身（国语罗马字：Shiing-shen Chern，），號辛生，男，浙江嘉興秀水人，美籍華人数学家、微分几何学家，對20世紀的數學、物理有龐大的影響。德国国家科学院院士、中央研究院院士、英国科学院、意大利猞猁之眼国家科学院、法国皇家学会、中国科学院的外籍院士。陈省身是20世纪世界最重要的微分几何学家之一、也是最有影响力的数学家之一，曾长期担任加州大学伯克利分校、芝加哥大学数学教授。陈省身于1982在伯克利主持创立了美国国家数学科学研…
辫群
S4的24个元素]] 辮群（）為數學領域中紐結理論的一個概念。一個\ n 股的辮群（記為\ B_{n}）是元素為 n-braid 的群，其運算為前一個 n-braid 按後一個 n-braid 的方式操作（見 ）。 辮群是由美国数学家埃米爾·阿廷（于1925 年提出），因此又被稱為阿廷辮群（）。 引言 想像有4條橫著擺放的繩子，它們的兩端分別被固定在左右兩側的牆上。如下圖所示，黑點代表被固定的位置。 我們稱這樣繩子的擺放方式，或是編織的…
陳-西蒙斯理論
陈-西蒙斯理论（）以陈省身和詹姆斯·哈里斯·西蒙斯的名字命名，描述三维拓扑量子場論，在物理學有很多應用。此理論用陳-西蒙斯形式。 陳-西蒙斯理论描述分數量子霍爾效應，導致2016年的物理諾貝爾獎。 經典公式 若（G，M）是主丛，M是流形，G是李群 / 规范群，A是联络，陈西蒙斯作用量是 :S=\frac{k}{4\pi}\int_M \text{tr}\,(A\wedge dA+\tfrac{2}{3}A\wedge A\wedge A…
楊-米爾斯理論
楊-米爾斯理論（）是一種基於SU(N)群的规范场论，在數學和物理學中有很重要的應用。例如，粒子物理學的標準模型是一種楊米論，有G = U(1) \times SU(2) \times SU(3)的規範。楊米作用量是 \mathcal{S}_{YM} = \frac{1}{2} \int -tr(F\wedge F)。 历史 在1953年，沃爾夫岡·泡利將五維的卡魯扎-克萊因理論拓展到六維。 但是，沒有證據表明，他推導了規範場的拉格朗日量…
紐結多項式
在紐結理論中，扭結多項式指的是一類以多項式表達的紐結不變量（knot invariant），而此類多項式的係數則表示它所代表的紐結的一些性質。 歷史 第一個已知的紐結多項式，也就是所謂的亞歷山大多項式，是由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大在1923年引進的，但其他的紐結多項式卻一直都沒找到，直到近六十年後。 在1960年代，約翰·何頓·康威找出了一個對於亞歷山大多項式的某版本的糾結關係（skein relation），這又被稱為所謂的康威─亞歷…
陳-西蒙斯形式
在數學中，陳-西蒙斯形式（）以陳省身和詹姆斯·哈里斯·西蒙斯的名字命名。這些微分形式在規範理論、楊-米爾斯理論、物理學、幾何、和拓撲有許多應用。他們是陳-西蒙斯理論的主要對象。 公式 若(M, G)是主丛，F是曲率： F = dA + A \wedge A 陳-西蒙斯形式是： dCS_{2k-1}(A) = tr(F^k) 例如： CS_1 = tr(A) CS_2 = tr(dA\wedge A + \frac{2}{3} A\wed…
陈类
数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。 定义 给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的*第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理: 公理1. 对于任何E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \m…
琼斯多项式
在数学的纽结理论中，琼斯多项式是沃恩·琼斯在1984年发现的纽结多项式。琼斯多项式是有向纽结（）或有向环（）的一个（）。具体而言，它是一个以 t^{1/2} 为变量的系数全为整数的。 琼斯多项式定义式 假设给定一个有向纽结或有向环 L 以及它的投影图，那么我们可以通过考夫曼（）的\langle L\rangle 来定义琼斯多项式 V(L) 。这里的尖括号多项式是一个以 A 为变量的系数全为整数的。 首先我们先建立一个辅助多项式（） :X…
阿哈罗诺夫-玻姆效应
效應，全名阿哈羅诺夫－玻姆效應（），是個物理學现象。它證明即使在磁場為零的區域，仍舊會存在磁效應，然而，這並不能用來測量磁矢勢，因為只有磁通量會出現在表達效應的公式裡，而且整個理論始終維持規範不變性。阿哈羅诺夫－玻姆效應是量子力学和电动力学发展史上的重要实验，說明了量子力學的非局域性質。 「」這個名稱取自在1959年设计这个实验的两位理论物理家亞基爾·阿哈羅诺夫（Yakir Aharonov）和大衛·玻姆（David Bohm）姓名的首…
瞬子
瞬子(instanton)來自於運動方程式的經典解，無論在量子力學或量子場論，它都是有限的且為非零作用量。更精確地說，它是歐氏空間中经典場論運動方程式的解。它在量子場論中扮演重要角色： 在路徑積分中，用於對物理系統的经典效應進行量子修正。 它們可用於研究許多物理系統的穿隧效應，例如楊-米爾斯理論。 4维杨-米尔斯瞬子 若 S_{YM} = \int tr(F\wedge F) 是杨-米尔斯作用量（其中是霍奇对偶），4维杨-米尔斯瞬子是下…
考夫曼多項式
在纽结理论中，考夫曼多项式（Kauffman polynomial）是二元纽结多项式。 F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)\, w(K) 是绞拧数，L(K) 的定义是： L(O) = 1 (O是平凡纽结). L(s_r)=aL(s), \qquad L(s_\ell)=a^{-1}L(s). 通过第2和3的Reidemeister变换，L不变 L满足考夫曼的糾結關係： 琼斯多项式是考夫曼多項式的特例（ L 成为括號多項式）。…
环绕数
的两条曲线的环绕数是 4。]] 在数学中，环绕数（）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。 环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。 定义 空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这…
HOMFLY多項式
在紐結理論中，HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的纽结多项式；透過變元代換，它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。 「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Przytycki 與 Traczyk。 拆接關係 HOMFLY多項式 P_K(\ell, m) = P…