环绕数

的两条曲线的环绕数是 4。]]
在数学中，环绕数（）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。

环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。

定义
空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：

每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。

计算环绕数
存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负”
：

正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即
:环绕数 = \frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2},\,
这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和 n_1 + n_3\,\! 与 n_2 + n_4\,\! 总相等。这样得到了如下另外的公式
:环绕数=\,n_1-n_4\,=\,n_2-n_3.\,
注意到 n_1-n_4 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 n_2-n_3 只涉及到上交叉。

性质与例子

• 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的）。
• 逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。
• 环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。
• x-y 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 z-轴（将 z-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。
• 更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数 Z。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。
• 在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。

高斯的积分定义
给定两条不交可微曲线 \gamma_1, \gamma_2 \colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^3，定义从环面到单位球面高斯映射 \Gamma 为
:\Gamma(s,t) = \frac{\gamma_1(s) - \gamma_2(t)}.\,

取单位球面上一点 v，从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉，这里 \gamma_1 在 \gamma_2 上。并且 (s, t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于 v 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线 γ1 与 γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：

:环绕数{}\,=\,\phi(\gamma_1, \gamma_2) = \frac{1}{4\pi}
\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}
\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}

则

Z[C_1, C_2] = \exp(2\pi i \phi(C_1, C_2) / k)

这是最简单的一个拓撲量子場論。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。

另见
*陳-西蒙斯理論
*卷绕数

• 绞拧数

*扭转数

• 曲线的微分几何

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• 霍普夫不变量

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注释
参考文献
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