HOMFLY多項式

在紐結理論中，HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的纽结多项式；透過變元代換，它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。

「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Przytycki 與 Traczyk。

拆接關係
HOMFLY多項式 P_K(\ell, m) = P(K) 由下述拆接關係唯一地定義：

: P( \mathrm{unknot} ) = 1,\,

: \ell P(L_+) + \ell^{-1}P(L_-) + mP(L_0)=0,\,

其中unknot是平凡纽结； L_+, L_-, L_0 代表結圖表在某個交點附近的性狀，如次圖所示：

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式，亦可導出
: P(L_1 \sqcup L_2) = \frac{-(l+l^{-1})}{m} P(L_1)*P(L_2)

其它拆接關係
透過適當的變元代換，上節的拆接關係可換為
: \alpha P(L_+) - \alpha^{-1}P(L_-) = zP(L_0)
: 或者
: x P(L_+)+yP(L_-)+zP(L_0)=0

主要性質
與瓊斯多項式的關係：
: V(t)=P(\alpha=t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})

與亞歷山大多項式的關係：
: \Delta(t)=P(\alpha=1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})

對鏡像與連通和的關係：
: P(L_1 \# L_2)=P(L_1)P(L_2),\,
: P_K(\ell,m)=P_\mathrm{Mirror Image(K)}(\ell^{-1},m)

陈-西蒙斯理论
SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。

参考文献
相關文獻

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4