伽罗瓦理论基本定理
伽罗瓦理论基本定理是抽象代数中的定理，通过群的概念来描述特定域扩张的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张是有限伽罗瓦扩张，则此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域（即子扩张⊂⊂中的）之间有一一对应关系。 简介 伽罗瓦理论最初研究的目标是域上多项式方程的根式通解问题。18世纪时，数学家已经知道，任意的二次方程、三次方程和四次方程可以通过配方法开方求解。但对五次以上的多项式方程，一直没有发现通用的根式求解方法。19世纪初，伽罗瓦和阿贝尔创造了群论…
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拉格朗日插值法
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示各結果之間某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过繁複实验和多次观测来了解。而，如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式（Lagrange polynomial）。数学上来说，…
多项式插值
在数值分析这个数学分支中，多项式插值用多项式对一组给定数据进行插值的过程。换句话说就是，对于一组给定的数据（如来自于采样的数据），其目的就是寻找一个恰好通过这些数据点的多项式。 应用 多项式可以根据少数给定的数据点来逼近复杂的曲线，如字体排印学中的文字。一个相关的应用是估计自然对数和三角函数的值：选择几个已知的数据点、构建一个查找表、然后在这些数据点之间进行插值。这样可以得到非常快速的计算。另外多项式插值也是数值积分和数值常微分方程中算…
韦达定理
在數學上，韦达定理（），又称根與係數的关系，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。 韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。 内容 设 P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 a_n\neq 0，令 P 的 n 個根為 x_1, x_2,…
判别式
判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： :a_n^{2n-2}\prod_{i 其中的a_n是多项式的最高次项系数，r_1, ..., r_n是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比…
多项式除法
多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。 范例 计算\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式： :\frac{x^3 - 12x^2 + 0x - 42}{x-3} 然后商和余数可以这样计算： 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到…
对称函数环
代数组合学中，对称函数环是n趋近于无穷大时，n元对称多项式环的特定极限。此环是一种通用结构，其中对称多项式间的关系可用一种与n无关的方式表达（但其元素不是多项式也不是函数）。此环也在对称群表示论中起着重要作用。 对称函数环可给出余积和双线性形式，使其成为正定自伴分次霍普夫代数，其是交换的也是余交换的。 对称多项式 对称函数研究以对称多项式为基础。多项式环中，在变量的某有限集中，若变量的顺序不会影响多项式的值，则称多项式是对称的。更形式地…
二次函数
在数学中，二次函数（）表示形为 f(x)=ax^2+bx+c \,\!（a \ne 0 \,\!，且a、b、c是常数）的多项式函数，其中，x为自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 二次函数表达式ax^2+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x的最高冪次是2。 如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。 历…
埃尔米特多项式
在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。 定义 埃尔米特多项式有两种常见定义。 第一种是概率论中较为常用的形式（记作：H_n^\mathrm{prob}(x)）： :H_n^\mathrm{prob}(x…
整式
整式（）是指分母與根号下不含字母的代數式，是一種有理式。 範例 整式例子: :\frac{x}{10} 、\frac{x}{12} - \frac{y}{20}、\frac{3}{4}+\frac{y}{100} 分类 整式分为单项式和多项式。由数与字母相乘而形成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式 运算
当德兰-格拉夫方法
当德兰-格拉夫方法（；）是求多項式根的數值方法之一，由幾位18世紀數學家Karl Heinrich Gräffe、Germinal Pierre Dandelin和羅巴切夫斯基分別獨立提出。 設欲解的方程為p(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) : p(-x) = (-1)^n (x+x_1)(x+x_2)...(x+x_n) : p_{2}(x^2) = p(x)p(-x) = (-1)^n(x^2-x_1^2…
對稱多項式
數學中的對稱多項式（）是一种特殊的多元多项式。假设一个元多項式，當其中的個不定元任意交換後，多項式仍維持不變，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的元置换，都有 = ，就说是对称多项式。 对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同，所以这类多项式中，不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说，将多项式方程的根构成的系数多项式…
拉盖尔多项式
在数学中，以法国数学家命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。 : x\,y + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\, 这是一个二阶线性微分方程。 这个方程只有当n非负时，才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中，计算形如\int_0^\infty f(x) dx的积分。 这些多项式（通常用L0, L1等表示）构成一个多项式序列。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。 : L_n(x)=\frac{e^x}{n!…
吴消元法
吴消元法，又称吴特征列方法，是中國科學院院士吴文俊创立的将多元多项式方程组简化然后求解的机械化算法。吴消元法可用计算机实现，是数学机械化的基础。 历史 多项式的指标 多项式： :::P=P(x_{1},x_{2},……x_{n})中 ;主变元 :变元(x_{1},x_{2},……x_{n})中下标最大下标 称为多项式P的主变元，记为 Ivar(P) :例如 P=-2x_{2}^2-x_{1}x_{2}^2+2x_{1}x_{2}+2x_…
交错多项式
代数中，交错多项式（alternating polynomial）是多项式f(x_1,\dots,x_n)，使得交换任意两个变量，多项式的符号发生变化： :f(x_1,\dots,x_j,\dots,x_i,\dots,x_n) = -f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_n). 等价地，排列变量时，多项式的值会因排列的符号而改变： :f\left(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma…
艾森斯坦判別法
艾森斯坦判別法(Eisenstein's criterion)是代數學中的一個定理，其名稱由來為德國數學家費迪南·艾森斯坦，此定理給出了判定整係數多項式不能分解為整係數多項式乘積的充分條件。由高斯引理，這判別法也是多項式在有理數域不可約的充分條件。 艾森斯坦判別法是說：給出下面的整係數多項式 : f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 如果存在質數p，使得 *p不整除an ，但整除其他所有a…
不变因子
数学中，不变因子是λ-矩阵理论中的概念。不变因子定义为λ-矩阵的若尔当标准型中主对角线上出现的非零元素。对矩阵进行初等变换不会影响不变因子，所以两个等价的矩阵拥有相同的不变因子。在不变因子的概念上可以进一步定义初等因子的概念。 定义 λ-矩阵是以不定元λ的多项式作为元素的矩阵。例如： A(\lambda) = \begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{…
特徵多項式
在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。 定義 設 \mathbb{F} 為域（例如實數或複數域），對佈於 \mathbb{F} 上的 n \times n 矩陣 A，定義其特徵多項式為 : p_A(t) := \det (t I_n - A) \in \mathbb{F}[t] 這是一個 n 次多項式，其首項係數為一。 一般而言，對佈於任何交…
矩阵多项式
矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。 定义 给定自然数、系数环\mathbf{R}以及阶方块矩阵，一个关于矩阵的次的矩阵多项式通常写作： :P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i 其中的\alpha_…
多项式矩阵
多项式矩阵，也称为－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“－矩阵”的名称时，说明系数多项式以为不定元。 严格定义 给定自然数和系数环\mathbf{R}，一个阶多项式矩阵为如下形式： :A (\lambda ) = \left[ a_{i,j}(\lambda) \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, \quad \forall 1 \le…