多项式矩阵

多项式矩阵，也称为－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“－矩阵”的名称时，说明系数多项式以为不定元。

严格定义
给定自然数和系数环\mathbf{R}，一个阶多项式矩阵为如下形式：
:A (\lambda ) = \left[ a_{i,j}(\lambda) \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, \quad \forall 1 \leqslant i, j \leqslant n, \; \; a_{i, j} (\lambda) = \sum_{k=0}^{d_{i, j}} a_{i, j, k} \lambda^k \in \mathbf{R}\left[ \lambda \right]，
其中d_{i, j}是每个多项式a_{i,j}(\lambda)的次数。如果设其中最大的为d：
:d = \max_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \{ d_{i, j} \}
那么多项式矩阵也可以表达为：
:A = \sum_{k=0}^d \lambda^k \left[ a_{i,j, k} \right]_{1 \leqslant i, j \leqslant n} = \sum_{k=0}^d A(k) \lambda^k.
其中约定当k > d_{i, j}时，a_{i,j, k} = 0.

由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵A(d)的行列式不为零，则称多项式矩阵为为正则多项式矩阵（）。所有阶多项式矩阵的集合记为\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R}\left[ \lambda \right])或\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\left[ \lambda \right]。前者表示所有以多项式为系数的阶方块矩阵的集合，后者表示所有阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。

例子
所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域，以下是一个3阶多项式矩阵：
:
P=\begin{pmatrix}
1 & x^2 & x \\
0 & 2x & 2 \\
3x+2 & x^2-1 & 0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}

+\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 0
\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}x^2.

特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有阶数值矩阵，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵： P_A (\lambda) = \lambda \mathbf{I}_n - A。而特征矩阵的行列式\det \left( \lambda \mathbf{I}_n - A \right)就是数值矩阵的特征多项式。

性质
由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环\mathbf{R}上的所有阶多项式矩阵也构成一个代数。两个阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似关系、等价关系（也称为相抵）、秩以及行列式。

如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以对角化。任何一个秩为的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：
:a\operatorname{diag} (d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots , d_r(\lambda), 0, \cdots , 0)
其中的每个非零的对角元素d_i(\lambda)都是首一多项式，并且整除下一个对角元素d_{i+1}(\lambda)。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（），所有的d_i(\lambda)被称为原多项式矩阵的不变因子。

如果将阶多项式矩阵看成以阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元替换为一个阶方块数值矩阵，而得到一个阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换：
:左替换：将\sum_{k=0}^d A(k) \lambda^k 替换为 \sum_{k=0}^d B^k \cdot A(k), 也记作P_l^A (B),
:右替换：将\sum_{k=0}^d A(k) \lambda^k 替换为 \sum_{k=0}^d A(k)\cdot B^k, 也记作P_r^A (B).
如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做带余除法：如果A(\lambda)和B(\lambda)都是多项式矩阵，其中B(\lambda) \neq 0，那么唯一存在多项式矩阵Q(\lambda)和R(\lambda)，满足
#A(\lambda) = B(\lambda) Q(\lambda) + R (\lambda),
#R(\lambda)作为多项式的次数严格小于B(\lambda)，或者为零。

参见
*特征多项式
*不变因子
*初等因子

参考来源