二次函数

在数学中，二次函数（）表示形为 f(x)=ax^2+bx+c \,\!（a \ne 0 \,\!，且a、b、c是常数）的多项式函数，其中，x为自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

二次函数表达式ax^2+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

历史
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

根
二次方程 ax^2+bx+c=0\,\! 的两个根为：x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}解方程后，我们会得到两个根：x_1和x_2。则点(x_1,0)和(x_2,0)就是二次函数与x轴的交点。根的类型如下：

• 设\Delta = b^2-4ac \,為一元二次方程式的判別式，又記作D。
• 當\Delta > 0\,\!，则方程有两个不相等的根，也即与x轴有两个不的交点，因为\sqrt{\Delta}是正数。
• 當\Delta = 0\,\!，则方程有两个相等的根，也即与x轴有一个切点，因为\sqrt{\Delta}是零。
• 當\Delta ，则方程没有實數根，也即与 x 轴没有交点，因为\sqrt{\Delta}是共軛複數。

设 r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} 和 r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ，我们可以把 a x^2 + b x + c \,\!因式分解为 a(x - r_1)(x - r_2)\,\!。

二次函数的形式
二次函数可以表示成以下三种形式：

• f(x) = a x^2 + b x + c \,\! 称为一般形式或多项式形式。
• f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\! 称为因子形式或交点式，其中r_1和r_2是二次方程的两个根，(r_1,0),(r_2,0) 是抛物线与x轴的两个交点。
• f(x) = a(x - h)^2 + k \,\! 称为标准形式或顶点形式，(h,k)即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根r_1和r_2，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

h代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為h

*k展開後比較後可得 k=-a\left(\frac{2}\right)^2

不通過r_1和r_2求k及h公式：

*h = - \frac{b}{2a}
*k = -\frac{b^2-4ac}{4a} (也作k = \frac{4ac-b^2}{4a})

而在三種形式中皆出現的a為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

图像
*系数a控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。|a|越大，开口越小，函数就增长得越快。
*系数b和a控制了抛物线的对称轴（以及顶点的x坐标）。
*系数b控制了抛物线穿过y轴时的倾斜度（导数）。
*系数c控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与y轴的交点。

x 截距
当函数与x轴有两个交点时，设这两个交点分别为 A(x_1,0),\, B(x_2,0)，由根与系数的关系得出：x_1+x_2=-\frac{b}{a} 和x_1x_2=\frac{c}{a}

:
\begin{align}\therefore AB&=|x_2-x_1| \\
&=\left|\sqrt{(x_2-x_1)^2}\right| \\
&=\left|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\right| \\
&=\left|\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{4c}{a}}\right| \\
&=\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right| \\
&=\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right| \\
&=\frac{\sqrt{b^2-4ac}} \ \ \ \ \text{或} \ \ \ \ \frac{\sqrt{\Delta}}\end{align}

顶点
抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为(h, k)\,\!。用配方法，可以把一般形式f(x) = a x^2 + b x + c \,\!化为： f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a}

因此在一般形式中，抛物线的顶点是： \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)如果二次函数是因子形式f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!，则两个根的平均数\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!就是顶点的x坐标，因此顶点位于 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right)\!a 时，顶点也是最大值；a > 0 \,\!时，则是最小值。

经过顶点的竖直线 x=h=-\frac{b}{2a} 又称为抛物线的对称轴。

最大值和最小值
導數法
函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数f(x) = ax^2 + bx + c \,\!，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\! f'(x)=2ax+b \,\!然后，求出f'(x)\,\!的根：2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}因此，-\frac{b} {2a}是f(x)\,\!的x\,\!值。现在，为了求出y\,\!，我们把x = -\frac{b} {2a}代入 f(x)\,\!：y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}所以，最大值或最小值的坐标为： \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)

配方法
\begin{align}
f(x) &= ax^2+bx+c \\
&= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\
&= a \left[ x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 \right]+c-a(\frac{b}{2a})^2 \\
&= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{4a}\\
&= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \\
\end{align}

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當x=-\frac{b}{2a}時，f(x)有最大或最小值\frac{4ac-b^2}{4a}。

二次函数的平方根
二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果a>0\,\!，则方程 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 y_p = a x^2 + b x + c \,\!的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果a，则方程 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线 y_p = a x^2 + b x + c \,\!的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数
二元二次函数是以下形式的二次多项式： f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!这个函数描述了一个二次曲面。把f(x,y)\,\!设为零，则描述了曲面与平面z=0\,\!的交线，它是一条圆锥曲线。
最小值/最大值
如果 4AB-E^2 ，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 4AB-E^2 >0 \,，则当 A>0时函数具有最小值，当 A具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 (x_m, y_m) \, 取得，其中：x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}如果 4AB- E^2 =0 \,且 DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果 4AB- E^2 =0 \,且 DE-2CB=2AD-CE =0 \,，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当 A>0时取得最大值， A时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

註釋
参考资料
参考书目
*《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
*《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X
參見
*抛物线

外部連結
*