矩阵多项式

矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。

定义
给定自然数、系数环\mathbf{R}以及阶方块矩阵，一个关于矩阵的次的矩阵多项式通常写作：
:P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i
其中的\alpha_0, \alpha_1 , \cdots, \alpha_d都是系数环\mathbf{R}中的元素。这其实是可以看作将\mathbf{R}[\lambda]中的多项式：
:P(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda +\alpha_2 \lambda^2 + \cdots + \alpha_d \lambda^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i \lambda^i
中的不定元\lambda换成了一个阶方块矩阵后得到的结果。和一样，也是一个阶方块矩阵。

性质
给定一个阶方块矩阵，如果一个非零多项式f \in \mathbf{R}[\lambda]满足：f(A) = 0，则称多项式是矩阵的零化多项式。根据开莱－哈密尔顿定理，特征多项式\Pi_A(\lambda)满足\Pi_A(A) = 0，所以\Pi_A是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为的最小多项式，记作\pi_A。所有关于的矩阵多项式都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于\pi_A的多项式。事实上，存在多项式Q, \; R \; \in \mathbf{R}[\lambda]，使得：
:P = Q\pi_A + R
并且其中的次数严格小于\pi_A的次数。所以：
:P(A) = Q(A) \pi_A(A) + R(A) = Q(A) \cdot 0 + R(A) = R(A).

参见
参考来源