伽罗瓦理论基本定理
伽罗瓦理论基本定理是抽象代数中的定理，通过群的概念来描述特定域扩张的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张是有限伽罗瓦扩张，则此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域（即子扩张⊂⊂中的）之间有一一对应关系。 简介 伽罗瓦理论最初研究的目标是域上多项式方程的根式通解问题。18世纪时，数学家已经知道，任意的二次方程、三次方程和四次方程可以通过配方法开方求解。但对五次以上的多项式方程，一直没有发现通用的根式求解方法。19世纪初，伽罗瓦和阿贝尔创造了群论…
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伽羅瓦理論
图。]] 数学中，特别是抽象代数理论中，得名于法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦的伽罗瓦理论（）提供了域论和群论之间的联系，即伽罗瓦理论基本定理。这样可以将域论中的某些问题还原到群论，使其更简单、更易理解。 若方程的根可用只涉及有限次整数、方根与4种基本算术运算的式子表示，就称方程是根式可解的。伽罗瓦将多项式的根引入为研究课题，这样能根据多项式根置换群的性质描述根式可解多项式方程的特征。这广泛地概括了阿贝尔-鲁菲尼定理，其指出五次及以上的一般…
弗罗贝尼乌斯自同态
在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（'，简称弗罗贝尼乌斯*）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂。 x \mapsto x^p 在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。 定义 设R 是一个交换环，特征是素数p。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为： F : \, x \mapsto x^p 这是一个…
微分伽罗瓦理论
数学中，微分伽罗瓦理论是研究微分方程伽罗瓦群的理论。 概述 代数伽罗瓦理论研究代数域的扩张， 而微分伽罗瓦理论则研究微分域的扩张，即具备导子D的域。这两种构造的一个区别是，微分伽罗瓦理论中的伽罗瓦群往往是矩阵李群，而代数伽罗瓦理论中常常是有限群。 另见 皮卡–韦西奥理论 参考文献 Juan J. Morales Ruiz : Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hami…
阿贝尔-鲁菲尼定理
阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表。 简介 阿贝尔-鲁…
牛頓恆等式
数学中，牛頓恆等式（）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係。 牛顿在不知道先前的成果下，於約1666年發現這些恆等式。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如伽罗瓦理论、不變量理論、群论、组合學，也被进一步应用於数学之外，如广义相对论。 数学陳述 對稱多項式 令 x_1, \cdots ,x_n為變量，定義k\geq 1且 p_k(x_1, \cdots, x_n)為k階 冪和: : p_k(x_1,\ldot…
阿廷–施莱尔理论
数学中，阿廷–施莱尔理论是伽罗瓦理论的分支，具体地说是库默尔理论的正特征类似物，用于度数等于特征p的伽罗瓦扩张。提出了素数度p扩张的阿廷–施莱尔理论，将其推广到素数度p^n的扩张。 若K是特征为素数p的域，那么任何多项式的形式都是 :\forall \alpha\in K,\ X^p - X - \alpha,\, 称作阿廷–施莱尔多项式。若对\forall \beta\in K,\ \alpha\neq \beta^p-\beta，则…
域扩张
域扩张（）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为。 定义 设和是两个域。如果存在从到的域同态，则称(,)是的一个域扩张，记作或⊆、⊂。称为域扩张的基域，称为的扩域。如果某个域既是的扩域，又是的子域，则称域扩张是域扩张的子扩张，称（域扩张的）中间域。 域扩张的记法只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为:。 另外，因为是…
拓扑伽罗瓦理论
数学中，拓扑伽罗瓦理论是源于弗拉基米尔·阿诺德对阿贝尔-鲁菲尼定理的拓扑学证明的理论，关注拓扑学概念应用在伽罗瓦理论发生的一些问题。这种理论将抽象代数中的许多思想同拓扑学思想联系起来。正如Askold Khovanskii的书中所说：“根据这个理论，解析函数的黎曼曲面覆盖复平面的方式会阻碍函数的显式可表性。关于函数无法显式表示的最有力的已知结果就是这样获得的。” 参考文献 *
格罗滕迪克伽罗瓦理论
数学中，格罗滕迪克伽罗瓦理论（）是域的伽罗瓦理论的一种抽象方法，为代数几何背景下研究代数拓扑的基本群提供了一种方法，大约发展于1960年前后。格罗滕迪克伽罗瓦理论在经典域论背景下提供了一种不同于埃米尔·阿廷的线性代数视角，后者在1930年代成为标准。 亚历山大·格罗滕迪克的方法关注范畴论性质，是定投射有限群（profinite group）G的有限G集合范畴的特征。例如，G可能是表为\hat{\Z}的群，是循环加性群\Z/n\Z的逆极限…
八次方程
根（穿过X轴）和7个临界点。一般来说，取决于局部极值的数量和垂直位置，实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量 。]] 八次方程是可以用下式表示的方程 :ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k=0,\, 其中。 而八次函数是可以用下式表示的函数： f(x)=ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k, 换句话说，八次函数也就是次数…
伽罗瓦扩张
伽罗瓦扩张是抽象代数中伽罗瓦理论的核心概念之一。伽罗瓦扩张是域扩张的一类。如果某个域扩张既是可分扩张也是正规扩张，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的环自同构群的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为伽罗瓦群，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足伽罗瓦理论基本定理。 等价定义 给定有限的域扩张。是伽罗瓦扩张，当且仅当它满足以下四个相互等价的条件中的任何一个： 是可分的正规扩张。 是…
可分扩张
可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张满足：任何一个中元素在基域上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域\mathbb{Q}）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。 简介 域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域并固定其某个代数闭包，所…
伽羅瓦上同調
在數學中，伽羅瓦上同調是一套用群上同調研究伽羅瓦群的作用的技術。具體言之，假設伽羅瓦群 G = G_{L/K} 作用在一個群 A（通常是數論中出現的代數結構，如 L, L^\times, C_L 等等）上，伽羅瓦上同調研究相關的群上同調 H^i(G,A)。這些群通常具有重要的數論或算術代數幾何意義。 伽羅瓦上同調是現代代數數論的基石之一。 在代數數論中的應用 伽羅瓦上同調最早在1950年代被提出，主要與克勞德·謝瓦萊在類域論上的工作相關…
绝对伽罗瓦群
在数学中，一个 域 K 的 绝对伽罗瓦群 GK ，是 Ksep 在 K 上的 伽罗瓦群。其中，Ksep 是 K 的 可分闭包。当 K 是 完美域，即 K 的特征为0，或者 K 是一个 有限域 的时候，Ksep=Ka，即 K的 可分闭包 和它的 代数闭包 相等。这时候 GK 是所有 Ka/k 的自同构的群。绝对伽罗瓦群和所有伽罗瓦群一样，是 投射有限群 基本例子 复数域，或任何代数封闭的域，它的绝对伽罗瓦群是平凡群。 实数域的绝对伽罗瓦群…