弗罗贝尼乌斯自同态

在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（'，简称弗罗贝尼乌斯*）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p* 次乘幂。
x \mapsto x^p

在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。

定义
设R 是一个交换环，特征是素数p。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为：
F : \, x \mapsto x^p

这是一个自同态，因为首先对于乘法，它必然服从

F(xy) = (xy)^p = x^p y^p= F(x) F(y)

并且F(1) 也显然是1。然而同时，对于加法，也有：
F(x + y) = F(x) + F(y)

这是因为F(x + y) = (x + y)^p，而其中除了x^p 和y^p 两项之外，其余的每一项都是p的倍数。事实上，其余的每一项都是\binom{p}{k}x^k y^{p-k}，也就是\frac {p!}{k! (p-k)!} x^k y^{p-k} 的形式，其中k 是一个介于1和p-1 之间的整数。这样，分母k! (p-k)! 无法被p 整除，而分子可以被p 整除。于是，整体来说是p 的倍数。因此，由于环的特征是p，这一项实际是0。从而：
F(x + y) = (x + y)^p = x^p + y^p + \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}x^k y^{p-k}
= x^p + y^p = F(x) + F(y)

综上，弗罗贝尼乌斯自同态是满足自同态的定义的。

一般来说，弗罗贝尼乌斯自同态F 不是自同构，也就是说它不是一个一一映射。举例来说，令K为域Fp(t)，也就是在p 阶有限域Fp 中加入一个新的超越元素t 扩展得到的扩域。显然，由于t 是超越元，它不可能在F 的像集里面，否则t 就会是一个Fp-多项式的根，而不是超越元素。也就是说，F 不是自同构。

弗罗贝尼乌斯的不动点
设R 为一个特征是p 的整环。这里弗罗贝尼乌斯F 的不动点是所有使得方程 xp = x 成立的元素，也就是多项式xp - x。根据费马小定理，这个多项式的全部根是0, 1, 2, ..., p - 1。因此，弗罗贝尼乌斯的不动点是R 中的素域。

有限域的弗罗贝尼乌斯
令 Fq 为一个阶数等于q 的有限域，其中的q = pd，p 是域的特征。弗罗贝尼乌斯将域中的 Fp 部分之中的元素映射到自身。可以证明，F 生成了域扩张F_p \subset F_q 的伽罗瓦群。

参考资料
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