奥斯特洛夫斯基定理
奥斯特洛夫斯基定理（）是一个关于有理数域绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值，要么等价于p进数的绝对赋值。 定义 定义两个绝对赋值|\cdot| 和|\cdot|_{\ast} 是等价的，如果存在一个实数c>0，使得： :\forall x \in \mathbb{K} , \; \;|x|_{\ast} = |x|^{c} . 这是比两绝对…
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共 12 篇文章
弗罗贝尼乌斯自同态
在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（'，简称弗罗贝尼乌斯*）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂。 x \mapsto x^p 在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。 定义 设R 是一个交换环，特征是素数p。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为： F : \, x \mapsto x^p 这是一个…
黑格纳数
黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環。 黑格纳数-{只}-有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。 高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為。 歐拉的質數多項式 歐拉的質數多項式如下： :n^2 + n + 41, \, 在n…
判别式
判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： :a_n^{2n-2}\prod_{i 其中的a_n是多项式的最高次项系数，r_1, ..., r_n是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比…
分圆域
在数论中，分圆域是在有理数域 \mathbb{Q} 中添加复数单位根进行扩张而得到的数域。将 n 次单位根 \zeta_n 加入而得到的分圆域称为 n 次分圆域，记作 \mathbb{Q}(\zeta_{n}) 。 由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当 p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了理想数的概念，并证明了著名的…
整数
整数（）在電腦應用上也稱為整型，是集合\{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數集合一樣，整數集合也是一個可數的無限集合。整数集合通常寫作粗體的\mathbf{Z}或\mathbb{Z}（源于德语单词Zahlen，意为“数”）。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。 正整数与…
代数数域
代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域\mathbb{Q}的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作\mathbb{Q}上的有限维向量空间。 对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。 定义 预备知识 代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律…
素点
素点，也叫位，英文单词为Place（s）。 十九世纪的数学家确定了代数数是复数一种类型 ，这使在1897年亨泽尔发现P-adic数。一个数域所有的各种可能的嵌入都正好可对应该次嵌入拓扑完备化。一个数域F上的素点本质是F一个绝对赋值的等价类，用来度量F元素的大小。两个这样的绝对赋值都认为是等价的：如果一些元素的大小在一种度量下一样大小（或逼近）。在一般情况下，他们可分为三类，首先平凡绝对赋值| |0, 数域F中零元素的平凡绝对赋值总为0，…
单位群
在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。 整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C2。模n 的剩余类环Zn单位群记为U（Zn）。仅有U（Z3），U（Z4），U（Z6），U（Z8），U（Z12），U（Z24）非单位元的阶均为2；非单位元的阶均为其他素数p（p > 2）的单位群不…
代数数论主题列表
高斯整数, 高斯有理数 二次域 (Quadratic field) 代数数域 戴德金整環 (Dedekind domain) Global field 理想類群 Class number problem for imaginary quadratic fields Stark-Heegner 定理 黑格纳数 Ankeny-Artin-Chowla congruence 单位根 高斯周期, 高斯和 Chowla-Mordell 定理 分圆…
理想数
在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。 性质 举例来说，设 y 为方程 y2 + y + 6 = 0 的根，则扩域\mathbb{Q}(y)中的整数环为 \mathbb{Z}[y]，即所有 a + by 形式的数，其中a 和 b 为一般的整数。环中一个非主理想的例子是 \…
分式理想
在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。 定义和基本结论 设R是一个整环，K是其分式域。R的分式理想定义为K 的一个R-子模I，使得存在一个非零的r \in R ，满足rI \subset R。r可以被认为是子模I的“分母”，如果一…