判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。
当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：
:a_n^{2n-2}\prod_{i
其中的a_n是多项式的最高次项系数，r_1, ..., r_n是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。
判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。
定义
二次方程的判别式
最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程ax^2+bx+c\,，其中系数a,b,c为实数，则它的判别式定义为：
: \Delta=b^2-4ac\,
判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为r_1和r_2，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：
:r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \; \; r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.
方程的根与判别式的关系为：
:\Delta = a^2 (r_1- r_2)^2.
两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。
三次方程的判别式
- 一般三次多项式ax^3+bx^2+cx+d\,的判别式是
: \Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,
- 首項為一元，二次項系數為零的三次方程x^3+px+q\,的判别式是：
: \Delta=-4p^3-27q^2\,
四次方程的判别式
- 四次多項式ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,的判别式是：
:\begin{align}\Delta =&b^2c^2d^2-4b^3d^3-4ac^3d^2+18abcd^3\\
&-27a^2d^4+256a^3e^3-4b^2c^3e+18b^3cde\\
&+16ac^4e-80abc^2de-6ab^2d^2e+144a^2cd^2e\\
&-27b^4e^2+144ab^2ce^2-128a^2c^2e^2-192a^2bde^2 \,\end{align}
二次判别式
二次多项式P(x)=ax^2+bx+c\,的判别式是D=b^2-4ac\,。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。
- 如果D>0\,，那么P(x)\,有两个相异实根x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}，即P(x)\,的图像穿过x\,轴两次。
- 如果D=0\,，那么P(x)\,有两个相等实根x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\,，P(x)\,的图像与x\,轴相切。
- 如果D，那么P(x)\,没有实根，即P(x)\,的图像与x\,轴没有交点。
一般多项式的判别式
对于一般的一个多项式
:p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0，
其判别式等于（差一个系数）以下的(2n-1)\times(2n-1)\,的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：
:\left[\begin{matrix}
& a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\
& 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\
& na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
& 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right].
这个矩阵的行列式称为p(x)\,和p'(x)\,的结式，记为R(p,p')\,。p(x)\,的判别式D(p)\,由以下公式给出：
:D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,.
例如，在n= 4\,的情况下，以上的行列式是：
:\begin{vmatrix}
& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\
& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}
这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以a_4\,。
作为等价条件，多项式的判别式等于：
:a_n^{2n-2}\prod_{i
其中r_1,\cdots,r_n\,是多项式p(x)\,的複根（重根按重数计算）：
:\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}
在这个表达式中可以清楚地看到p\,有重根当且仅当判别式为零。
多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根r_i\,的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。
圆锥曲线的判别式
对于以下多项式所定义的圆锥曲线：
:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
它的判别式为：
:b^2-4ac
它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。
二次型的判别式
判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和：
: Q = \sum_{i=1}^k a_{i} L_{i}^2
其中L_i是n个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有a_i的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式。
代数数域的判别式
参见
- 二次函数
- 一元二次方程
- 多项式
- 圆锥曲线
- 二次型
参考资料与外部链接
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