二次型
在数学中，二次型（Quadratic form）是关于一些变量的二次齐次多项式。例如 :4x^2 + 2xy - 3y^2 是关于变量x和y的二次型。其系数通常属于一个确定的域，，例如实数或者复数。人们通常称之为：“在上的二次型。”在 K=\mathbb R时，且仅当所有的变量都为零时该二次型才为零时，则称该二次型为确定双线性形式，否則称之为迷向二次型。 二次型在许多数学分支，包括在数论、线性代数、群论（正交群）、微分几何(黎曼测度)、…
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高斯复合律
在数学中，在数论中，高斯合成律是由卡尔·弗里德里希·高斯发明的一种规则，用于对整系数二元二次型（IBQF）执行二元运算。高斯在其1801年出版的数论教科书《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）第234至244条中给出了这一法则。高斯合成律是整系数二元二次型理论中最深刻的结果之一，且高斯给出的法则表述及其性质的证明通常被认为极其复杂和困难。后来的一些数学家简化了合成律的表述，并以适合数值计算的形式呈现。该概…
判别式
判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： :a_n^{2n-2}\prod_{i 其中的a_n是多项式的最高次项系数，r_1, ..., r_n是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比…
克利福德代数
數學上，克利福德代数（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數，其推廣實數系、複數系、四元數系等超複數系，以及外代数。此代數結構得名自英國數學家威廉·金顿·克利福德。 研究克里福代数的理論有時也稱為克里福代數，其與二次型論和正交群理論緊密聯繫。其在几何、理論物理、數碼圖像處理中有很多应用。其主要贡献者有：威廉·哈密顿（四元数），赫尔曼·格拉斯曼（外代数），威廉·金顿·克利福德，等。 最…
胡尔维兹定理
在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯 ，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。 完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫或者夏皮罗处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同…
类数公式
在数论中，类数公式涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的赋值。 类数公式的一般性陈述 数域 K 有扩张[K:Q]=r=r1+2r2, r_1 为 K的实素点个数,2r_2 为 K的复素点个数. K戴德金zeta函数记为: \zeta_K(s) \, 则有下列不变量： h_K 为K的理想类群的阶 \operatorname{Reg}_K K的素点 w_K 为K的单位根个数 D_K 为K在K/Q扩张的判别式 *定理1（类数公式）数域 K …
合同矩阵
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，如果有同数域上的可逆矩阵 P，使得 :A=P^\mathrm{T} B P \, 。 其中的P^\mathrm{T}表示矩阵P的转置矩阵。 对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 在有限维线性空间中同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 性质 合同关系是一个等价关系，也就是说满足： :反身性：A=…
希尔伯特符号
在数学中，如果给定一个局部域 K，比如说实数域或p-进数域，设其去掉0后的乘法群为K×，则希尔伯特符号是一个关于K×的由互反律抽离而来的代数建构。希尔伯特符号得名于数学家大卫·希尔伯特。 具体来说，希尔伯特符号是一个从 K× × K× 射到 {−1,1} 的函数 h(\cdot , \cdot) ： : :. :； :. 性质 由定义可以直接得到希尔伯特符号的三个性质： 如果 a 是完全平方数，那么对任意的 b，都有h(a , b)=1…
正交群
数学上，数域F上的n阶正交群，记作O(n,F)，是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群，由 :\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;给出。 这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。 更一般地，F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描…
15-定理
15-定理是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway，1937-2020）和W.A.Schneeberger於1993年證明的定理，內容為如果一个二次多項式可以通過變量取整數值而表示出1~15的值（更嚴格的結論是只要表示出1,2,3,5,6,7,10,14,15）的話（例如w^2+x^2+y^2+z^2），該二次多項式可以通過變量取整數值而表示出所有正整數。
交叉項
在線性代數中，若二次型（quadratic form）中的項並非平方項，也就是說包含超過一個變數，這個項被稱為交叉項（cross-term）。 在信号处理領域中，交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素（信號），與之相對的則是自身項（auto-term），自身項中只包含一個元素。 通常在進行時頻分析時，我們都會希望盡量避免交叉項的產生，因為交叉項會使得多個訊號疊加的時頻分布的圖形變得難以解讀，不同訊號之間也會難以分離。 線性代數中的交叉…
二次型 (统计)
在多元变量统计中，如果 \varepsilon 为 n 维随机向量， \Lambda 是一个 n 维对称矩阵，则随机变量 \varepsilon^T\Lambda\varepsilon 称为 \varepsilon 的二次型。 期望 二次型的期望可表示为， :\operatorname{E}\left[\varepsilon^T\Lambda\varepsilon\right]=\operatorname{tr}\left[\Lambd…
L理論
在數學中，代數L理論(L-theory)是K理論的二次型，而「L」的命名緣由即意味著它來自於「K理論」（L是K後面的一個字母）。L理論一個較為人所知的稱呼是「厄米K理論」，它在割補理論(surgery theory)中佔有重要地位。 參見 K理論 割補理論 參考資料 *
割補理論
在數學中，尤其是拓撲學，割補理論(surgery theory)是一種用於從另一流形對象產生一個有限維流形、並在「控制」之下的理論方法。其最初是用於處理光滑流形，之後陸續被應用於分段線性流形以及拓撲流形等等。 概念 所謂的「割補」是指將流形的某一部份「割」下，再從其它流形找一部分將其沿著邊界或割緣「補」上。它與柄體分解(handlebody decomposition)的概念相似而不盡相同，因為它主要是用於研究及分類大於三維的流形。 參…
迷向二次型
在数学中，一个域 F 上的二次型称为迷向（）的如果在一个非零向量上取值为零。不然称为非迷向（）的。更具体地，如果 q 是域 F 上向量空间 V 上一个二次型，则 V 中一个非零向量 v 称为迷向的如果 q(v)=0。一个二次型是迷向的当且仅当对这个二次型存在非零迷向向量。 假设 (V,q) 是二次空间，W 是一个子空间。如果 W 中所有向量都是迷向的，称之为 V 的一个迷向子空间；如果不存在任何非零迷向向量则称之为非迷向子空间。一个二次…
西尔维斯特惯性定理
在代数学中，西尔维斯特惯性定理（）是指在实数域中，一个形如a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+...+a_{nn}x_n^2的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型y_1^2+y_2^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-....-y_r^2。其中的正项数（称为正惯性系数）、负项数（称为负惯性系数）以及 0 的数目惟一确定，其中的r为系数矩阵的秩。正惯性系数p－负惯性系数 (r-p) 的值…